Пример 4.2

101110,101₍₂₎= 1*2⁵+0*2⁴+1*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰+1*2^-1 + 0*2^-2+1*2^-3 = 46,625₍₁₀₎, т.е. двоичное число 101110,101 равно десятичному числу 46,625.

В вычислительных машинах применяются две формы представления двоичных чисел:

• естественная форма или форма с фиксированной запятой (точкой);

• нормальная форма или форма с плавающей запятой (точкой).

С фиксированной запятой все числа изображаются в виде последователь­ности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.

Пример 43. В десятичной системе счисления имеются 5 разрядов в целой части числа (до запятой) и 5 разрядов в дробной части числа (после запятой); числа, запи­санные в такую разрядную сетку, имеют вид:

+00721,35500; +00000,00328; -10301,20260.

Эта форма наиболее проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому не всегда приемлема при вычислениях.

Пример 4.4. Диапазон значащих чисел (N) в системе счисления с основанием Р при наличии т разрядов в целой части и s разрядов в дробной части числа (без учета знака числа) будет:

При Р = 2, т = 10 и s = 6: 0,0 1 5 £ N <. 1 024.

Если в результате операции получится число, выходящее за допустимый диапазон, происходит переполнение разрядной сетки, и дальнейшие вычисления теряют смысл. В со­временных ЭВМ естественная форма представления используется как вспомогательная и только для целых чисел.

С плавающей запятой каждое число изображается в виде двух групп цифр. Первая группа цифр называется мантиссой, вторая — порядком, причем абсолют­ная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок — целым числом. В общем виде число в форме с плавающей запятой может быть представлено так:

N=± MP^±r,

где М — мантисса числа (\М \ < 1);

r — порядок числа (r — целое число); Р — основание системы счисления.

Пример 4.5. Приведенные в примере 4.3 числа в нормальной форме запишутся так: +0,721355* 10³; +0,328*10°; -0,103012026* 10⁵.

Нормальная форма представления имеет огромный диапазон отображения чисел и является основной в современных ЭВМ.

Пример 4.6. Диапазон значащих чисел в системе счисления с основанием Р при нали­чии т разрядов у мантиссы и s разрядов у порядка (без учета знаковых разрядов по­рядка и мантиссы) будет:

При Р = 2, т= 10 и s = 6 диапазон чисел простирается примерно от 10^-19 до 10¹⁹.

Знак числа обычно кодируется двоичной цифрой, при этом код 0 означает знак "+", код 1 — знак"-".

Примечание. Для алгебраического представления чисел {т.е. для представле­ния положительных и отрицательных чисел) в машинах используются специ­альные коды: прямой, обратный и дополнительный. Причем два последних позволяют заменить неудобную для ЭВМ операцию вычитания на операцию сложения с отрицательным числом; дополнительный код обеспечивает более быстрое выполнение операций, поэтому в ЭВМ применяется чаще именно он.

Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она исполь­зуется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения маши­ны, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами (табл. 4.1) и в таком виде записывают­ся последовательно друг за другом.

Таблица 4.1. Таблица двоичных кодов десятичных и шестнадцатеричных цифр

Пример 4.7. Десятичное число 9703 в двоично-десятичной системе выглядит так: 1001011100000011.

При программировании иногда используется шестнадцатеричная система счисления, перевод чисел из которой в двоичную систему счисления весьма прост — вы­полняется поразрядно (полностью аналогично переводу из двоично-десятичной системы).

Для изображения цифр, больших 9, в шестнадцатеричной системе счисления применя­ются буквы А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, Е = 14, F = 15.

Пример 4.8. Шестнадцатеричное число F17B в двоичной системе выглядит так: 1111000101111011.

Варианты представления информации в ПК

Вся информация (данные) представлена в виде двоичных кодов. Для удобства работы вве­дены следующие термины, обозначающие совокупности двоичных разрядов (табл. 4.2). Эти термины обычно используются в качестве единиц измерения объемов информации, храни­мой или обрабатываемой в ЭВМ.

Таблица 4.2. Двоичные совокупности

Последовательность нескольких битов или байтов часто называют полем данных. Биты в числе (в слове, в поле и т.п.) нумеруются справа налево, начиная с 0-го разряда.

В ПК могут обрабатываться поля постоянной и переменной длины.

Ноля постоянной длины:

слово — 2 байта двойное слово — 4 байта
полуслово — 1 байт расширенное слово — 8 байт
слово длиной 10 байт — 10 байт

Числа с фиксированной запятой чаще всего имеют формат слова и полуслова, числа с плавающей запятой — формат двойного и расширенного слова.

Поля переменной длины могут иметь любой размер от 0 до 256 байт, но обя­зательно равный целому числу байтов.

Пример 4.9. Структурно запись числа -193₍₁₀₎> = -11000001₍₂₎ в разрядной сетке ПК

выглядит следующим образом.

Число с фиксированной запятой формата слово со знаком:

Число с плавающей запятой формата двойное слово:

Двоично-кодированные десятичные числа могут быть представлены в ПК полями переменной длины в так называемых упакованном и распакованном форматах.

В упакованном формате для каждой десятичной цифры отводится по 4 двоичных разряда (полбайта), при этом знак числа кодируется в крайнем правом полубайте числа (1100 — знак "+" и 1101 — знак"-"). _________________

Структура поля упакованного формата: | Цф | Цф | Цф | Цф | Цф|…. | Цф|ЗНАК|

Здесь и далее: Цф — цифра, Знак — знак числа. ^Байт

Упакованный формат используется обычно в ПК при выполнении операций сложения и вычитания двоично-десятичных чисел.

В распакованном формате для каждой десятичной цифры отводится по це­лому байту, при этом старшие полубайты (зона) каждого байта (кроме самого младшего) в ПК заполняются кодом 0011 (в соответствии с ASCII-кодом), а в младших (левых) полубай­тах обычным образом кодируются десятичные цифры. Старший полубайт (зона) самого младшего (правого) байта используется для кодирования знака числа.

Структура поля распакованного формата: |Зона|Цф Зона|Цф| …. |Зона|Цф |Знак|Цф|

Распакованный формат используется в ПК при вводе-выводе информации в ПК, а также при выполнении операций умножения и деления двоично-десятичных чисел.

Пример 4.10. Число -193₍₁₀₎ = -000110010011 _(2-10) в ПК будет представлено:

в упакованном формате — | 0001 | 1001 | 0011 | 1101 |

в распакованном формате — | 0011 | 0001 | 0011 | 1001 | 1101 | 0011 |