Уравнения динамики и энергетического баланса при качении тел по наклонным поверхностям

3.1. Уравнения динамики и расчёты коэффициента сопротивления качению

В данной работе рассматривается качение для плоского типа движения тела. Движение твёрдого тела называется плоским (или плоско – параллельным), если тело, перемещаясь в пространстве, совершает повороты, не имея закреплённых точек, и при этом каждая точка тела движется в одной и той же плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости.

Плоское движение могут совершать тела разной формы, в данном случае: стальной шар, катящийся по наклонным поверхностям. Исследуемое тело (шар) является однородным, так что центр его масс совпадает с центром симметрии. Следует подчеркнуть, что только при выполнении этого условия траектория центра масс повторяет профиль опорной поверхности, вдоль которой перемещается вместе с катящимся телом ось мгновенного вращения. В классической механике доказано, что в этом случае для теоретических расчётов можно использовать уравнение динамики вращательного движения тела относительно мгновенной оси в виде:

(6)

Здесь: e - угловое ускорение;

J_p и M_p – момент инерции и суммарный момент внешних сил относительно мгновенной оси, проходящей через точку касания между телом и опорой поверхностью (обозначается буквой P, см. рис. 2).

Рис.2

оси, проходящей через центр масс параллельно мгновенной оси в т. Р.

На рис. 2 изображено однородное тело (шар радиусом r), скатывающееся без скольжения по наклонной поверхности. Направление поворота с угловыми

скоростью w и ускорением e показано изогнутой стрелкой (при этом векторы и направлены вдоль оси Y). Показаны направления скорости V_c и ускорения a_c центра масс тела – т. С. В т. Р – м. ц. с. и здесь приложена сила F_сц. Сила тяжести G всегда приложена в центре масс. Пара сил с моментом сопротивления M_s обозначена здесь изогнутой стрелкой (силы N и G_N, образующие эту пару сил, показаны на рис 1б).

Принимая, что скатывающееся тело совершает плоское движение, запишем полную систему уравнений динамики в проекциях на оси координат (см. рис. 2):

Система уравнений (7) дана с учётом момента сопротивления M_s, который действует при вычислении моментов сил как относительно т. Р, так и относительно т. С. Соотношение (7 г) – это условие кинематической связи между a_c и e, выполняющееся только при качении без скольжения.

Уравнения (7) описывают качение ведомого тела, и сила F_сц направлена противоположно ускорению центра масс a_c. Отметим, что с ростом угла наклона a величиной M_s для упрощения некоторых расчётов можно пренебречь, т. к. в (7а) sin a - возрастает, а в (7б), где F_сц и M_s зависят от величины cos a, надо учитывать, что всегда значения коэффициентов d<<m. Это условие было использовано при выводе формулы (2) для предельного значения коэффициента m, обеспечивающего сцепление с ростом угла наклона.

Общий вид решения для ускорения a_c, скорости V_c и длины пути l _c центра масс тела легко получается из уравнения (7а) при условиях постоянства угла наклона a и момента сопротивления M_s. При этих условиях движение тела является равнопеременным, т. е. качением с постоянными угловым ускорением e и ускорением центра масс a _c. Для скатывающегося шара с радиусом r такие решения имеют вид:

(8а)

(8б)

(8в)

Здесь: t_k – время скатывания;

l _c – длина прямолинейного пути центра масс шара.

Из (8в) получаем следующую формулу для коэффициента сопротивления качению d:

(9)

Формулу (9) можно, в принципе, использовать для определения величины d, измеряя в эксперименте время скатывания t_k на пути l_c при заданном угле наклона. Однако, как показывает предварительный анализ, постановка таких измерений нецелесообразна, т. к. требует громоздких устройств и особо точных приборов.

Это объясняется тем, что значения коэффициентов d обычно невелики. Например, при качении стальных шариков по стальным поверхностям значения d лежат в интервале: d = (1 – 5)×10^-3 см. Несложный анализ формулы (8в) показывает, что при таких значениях d ожидаемая разница времён скатывания без учёта и с учётом сопротивления качению даже на длине l_c» 100 м при углах a» (5 – 10)° лежит в интервале (0,1 – 0,2) сек при времени скатывания t_k» (14 – -15) сек.

Такая малая разность времён скатывания "маскируется" погрешностями измерений параметров в формуле (9). Следовательно, результаты измерений коэффициента d на основе решений уравнений динамики (7) не дают достоверных сведений о его величине, если в опытах не используется особо точная (и, соответственно, дорогая) аппаратура.

В следующем разделе 3.2 рассмотрена более простая методика определения коэффициента d, основанная на применении уравнения энергетического баланса.

3.2. Уравнение энергетического баланса и методика определения коэффициента сопротивления качению

Уравнение энергетического баланса – это математическая формулировка общефизического закона сохранения энергии. Для установок, где механическая энергия может – под действием непотенциальных сил – преобразовываться в другие формы энергии, уравнение баланса имеет вид:

(10)

Здесь: Е₀ – начальная механическая энергия;

E(t) – механическая энергия в момент времени t;

E_s – потери механической энергии, обусловленные работой непотенциальных сил.

Уравнение (10) позволяет в ряде случаев выполнять исследования более простыми методами, чем с применением системы уравнений динамики, например, типа (7) для качения тел.

Рассмотрим методику определения коэффициента сопротивления качению d с учётом уравнения (10) на установке "Механический лоток". Принципиальная схема такой установки дана на рис. 3.

Установка состоит из двух наклонных плоскостей с равными углами наклона. Исследуемое тело – шар может перекатываться с одной плоскости на другую по желобу, обеспечивающему плоско – параллельный тип движения при качении.

Поднятое в верхнее положение и покоящееся тело имеет начальную механическую энергию Е₀, равную потенциальной энергии П₀ = mgh₀, где h₀ – высота подъёма центра масс, отсчитываемая от нижнего уровня спуска (см.

рис. 3).

Механическая энергия при движении в произвольный момент времени t равна:

, (11)

где П(t) = mgh; - потенциальная и кинетическая энергии при качении без скольжения.

Если допустить, что потери механической энергии при качении отсутствуют (E_s = 0), тогда тело, перекатываясь с одной плоскости на другую, в моменты остановок (когда ω = 0) поднималось бы на одну и ту же высоту, равную h₀. Этот вывод легко проверить теоретически, подставляя формулу (11) в уравнение (10). При условии, что E_s = 0 и кинетическая энергия в момент времени t_k остановки T(t_k) = 0, получим: П₀ = П(t_k), т.е. высота h в момент остановки тела должна равняться начальной высоте h₀.

В опыте, однако, наблюдается уменьшение высоты подъёма тела после каждого очередного перекатывания. На схеме рис.3 показан шар, поднявшийся на высоту h_N после числа перекатываний, равного N. Поскольку в моменты остановок кинетическая энергия равна нулю, из (10) и (11) получаем:

(12)

Здесь: E_s – потери энергии, равные работе момента сопротивления качению A_s за всё время движения.

Используя формулу (5), получаем:

(13)

Здесь: φ – полный угол поворота шара при качении, который определяется простым выражением:

, (14)

где L – длина пути центра масс шара за время катаний с одной плоскости на другую.

Схема, приведённая на рис.3, позволяет найти для расчёта величины L следующую простую формулу:

(15)

Из схемы на рис.3 также видно, что высоты h₀ и h_N можно найти с помощью выражений:

(16)

Подставляя (13), (14), (16) в уравнение (12) и учитывая: , получим выражение для расчёта коэффициента сопротивления качению в следующем виде:

, (17)

где: ‹ b › = ‹ l₀ › - ‹ l_N › – разность отсчётов расстояний от нижней точки спуска до центра шара;

‹ L › – вычисляется с помощью формулы (15).

Выражение (17) показывает, что использование закона сохранения энергии (в форме уравнения энергетического баланса) позволяет проводить опыты для определения коэффициента δ без измерения времени движения. Требуются только линейные измерения величин b и L. Экспериментальная установка при этом может иметь небольшие размеры.

Кроме того, значительно повышается достоверность результатов измерения коэффициента δ по сравнению с результатами, получаемыми по формуле (9). Это объясняется тем, что погрешности линейных измерений параметров в формуле (17) обеспечивают для коэффициента δ доверительный интервал, величина которого на два порядка меньше среднего значения δ, получаемого в опыте.