Функции многих переменных и их непрерывность

Переменная (с областью изменения ) называется функцией независимых переменных в множестве , если каждой паре их значений из по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение из множества . Множество v область определения функции, множество v область ее значений. Функциональная зависимость от обозначается так: и т.п. Выберем в пространстве систему координат , изобразим на плоскости множество ; в каждой точке этого множества восстановим перпендикуляр к плоскости и отложим на нем значение . Геометрическое место полученных таким образом точек и является пространственным графиком функции двух переменных.

Число А называют пределом функции f (x) при (), если

,

или

.

Оба эти определения эквивалентны.

Кроме этого понятия предела, которое обобщает понятие предела для функции одного переменного, для функций многих переменных существует и еще одно специфическое понятие, которого не было для функций одного переменного – так называемые повторные пределы. Опишем его на примере функции двух переменных .

Пусть задана функция двух переменных x и y. Пусть точка стремится к точке с координатами . Тогда то понятие предела, которое дано выше, называется двойным пределом и обозначается так: .

Будем теперь подходить к точке двумя путями (см. рис. 8.1). Первый выглядит так: сначала из точки перейдем в точку , двигаясь параллельно оси OY, а затем из этой точки перейдем в точку , двигаясь параллельно оси OX. В применении к функции это означает, что мы сначала перешли к пределу , получив некоторую функцию , а затем уже нашли , получив так называемый повторный предел