Формальная постановка задания достижения нечеткой цели

Общие подходы к решению задачи нечеткого математического программирования. Задания принятия решений, в которых система преимуществ ЛПР подается в виде одного критерия, а множество допустимых решений определяется системой ограничений, принадлежат к заданиям математического программирования. Рациональным решением в этом случае будет такое из множества допустимых, для которого достигается максимум критерия.

Нечеткость в постановке задачи математического программирования может находится как в описанном множестве альтернатив, так и в описании критерия качества.

При анализе задач нечеткого математического программирования выделяются два основных подхода. Согласно первого из них, который был предложен Белманом и Заде, задача формулируется как задача достижения нечетко определенной цели, решением которой является пересечение нечетких множеств цели и ограничений (допустимых альтернатив).

Согласно другого подхода, решения должны выбираться как это происходит в задачах многокритериальной оптимизации. Считается, что в решении должны быть лишь те альтернативы, которые не доминируются строго никакими другими. В этом случае ЛПР получает возможность большей мерой использовать свое субъективное мнение о реальной ситуации, которое не было формализовано в математической постановке задачи.

Формулирование и определение решения задачи. Основным в подходе Белмана-Заде относительно нечеткого математического программирования, является то что критерий принятия решения и множество альтернатив (ограничения, которые определяют множество допустимых альтернатив) рассматриваются как равноправные нечеткие подмножества некоторого универсального множества альтернатив, а это позволяет определить решение задачи в довольно простой форме.

Нечетким решением задачи достижения нечеткой цели называется пересечение нечетких множеств цели (критерия) и ограничений, и соответственно функция принадлежности решений определяющаяся как . При условии наличия нескольких критериев ограничений функция принадлежности решений будет иметь следующий вид:

.

В случае, когда задано отображение , и нечеткий критерий качества (цель) определенный на множестве Y, необходимо будет использование следующего эквивалентного к предыдущему определения нечеткого решения.

Нечетким решением задачи достижения нечеткой цели Q при условии наличия нечетких ограничений С называется максимальная в смысле вложенности нечеткое множество D, которое имеет следующие свойства:

1.D⊑C (допустимость решения).

2 (D)⊑Q (достижение нечеткой цели), где (D)- образ D при отображении.

Одним из распространённых способов выбора альтернативы, которая имеет наибольшую степень принадлежности нечеткому множеству, является

и такое решение называется максимизирующим.