Основные теоремы дифференциального исчисления

Методические указания к проведению лекционного занятия

Тема № 3.2. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Правило Лопиталя

План:

1. Основные теоремы дифференциального исчисления

2. Правило Лопиталя

3. Раскрытие неопределённостей

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке Х функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. .

Теорема Ролля. Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и . Тогда существует точка такая, что .

Геометрический смысл теоремы Ролля. Если выполняются все условия теоремы Ролля, то в точке , где , касательная к кривой параллельна оси . На интервале может быть несколько точек таких, что (рис. 1).

Рис. 1. Геометрический смысл теоремы Ролля

Пример. Проверить выполнение условий теоремы Ролля для функции на отрезке и найти соответствующие значения .

Решение. Очевидно, что, функция непрерывна на отрезке [-1, 1], дифференцируема на интервале (-1,1) ( (-1,1) существует =2 x); , т.е. все условия теоремы Ролля выполнены. Следовательно, найдется хотя бы одна точка , для которой . Из уравнения определим единственную точку . В точке касательная к кривой параллельна оси (рис. 2).

Следствие из теоремы Ролля. Если функция на отрезке удовлетворяет условиям теоремы Ролля, причем , то существует точка такая, что . Другими словами, между двумя нулями дифференцируемой функции лежит по крайней мере один нуль её производной.

Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Тогда существует точка такая, что справедливо равенство

, . (1)

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

. (2)

Определим из условия , или .

Отсюда

. (3)

Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля (проверьте самостоятельно), поэтому существует точка такая, что . Из формулы (2) . Следовательно, . Отсюда . Подставляя найденное значение в (3), получим

(4)

или . Теорема доказана.

Формула (1) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа. Правая часть равенства (4) есть тангенс угла наклона угла хорды , стягивающей конечные точки графика функции на отрезке , к положительному

Левая часть этого равенства равна тангенсу угла наклона касательной к графику в некоторой промежуточной точке , где .

Таким образом, теорема Лагранжа утверждает, что, если функция на отрезке удовлетворяет условиям теоремы, то найдется хотя бы одна точка такая, что касательная к кривой в точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой . Из рис. 3 видно, что в данном случае условиям теоремы удовлетворяют две точки: и .

Замечание. Теорему Лагранжа называют также теоремой о среднем, так как она определяет значение функции в некоторой промежуточной (“средней”) точке ξ интервала .

Пример. Проверить выполнение теоремы Лагранжа для функции на отрезке и найти соответствующие значения ξ.

Решение. Очевидно, что функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале (-2, 1), т. к. при любых существует . Условия теоремы Лагранжа выполнены. Следовательно, на интервале найдется хотя бы одна точка ξ, для которой справедливо равенство . Так как , , то , . Точку ξ найдем из уравнения . Отсюда . Искомой является точка , так как только .

Следствие из теоремы Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и для любых , то на отрезке .

Этот вывод следует, например, из геометрического смысла производной. Так как касательная к графику функции в каждой точке интервала параллельна оси , то на (рис. 4).

, . (5)

Формулу (5) называют обобщённой формулой конечных приращений или формулой Коши.

Формула Лагранжа (1) является частным случаем формулы Коши при .

Пример. Проверить выполнение условий теоремы Коши для функций и на отрезке и найти соответствующие значения ξ.

Решение. Очевидно, что функции , непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале (1, 3), т. к. существуют , на (1,3). Кроме того, на отрезке (1,3). Таким образом, все условия теоремы Коши выполнены. Следовательно, на интервале (1,3) существует хотя бы одна точка ξ, для которой справедливо равенство , или . Отсюда . Полученное значение является искомым, т. к. .