Приложение 1. С

В задачах 1.9 и 1.10 исходный вопрос решается путем нахождения определителя и сравнения его с нулем. В случае, когда элементы определителя заданы точно, следует вычислить определитель и правильно ответить на поставленный в задаче вопрос.

В случае, когда элементы определителя заданы приближенно с относительной погрешностью d, дело обстоит сложнее. Пусть элементы матрицы обозначены через . Тогда каждый элемент матрицы теперь уже не равен конкретному значению, а может принимать любое значение из oтрезка [ (1 - d); (1 + d) ], если > 0, и из отрезка [ (1 + d); (1 - d) ], если < 0. Множество всех возможных значений элементов матрицы представляет собой замкнутое ограниченное множество в 9-мерном пространстве. Сам определитель является непрерывной и дифференцируемой функцией 9 переменных - элементов матрицы . По известной теореме Вейерштрасса эта функция достигает на указанном множестве своего наибольшего и наименьшего значений M и m. Если отрезок [ m, M ] не содержит точку 0, то это означает, что при всевозможных допустимых значениях элементов матрицы определитель не обращается в 0. Если же точка 0 принадлежит отрезку [ m, M ], такое утверждение будет неправомерным. Будет иметь место неопределённость.

Нахождению значений m и M помогают следующие рассуждения. Как функция своих аргументов (элементов матрицы ) определитель обладает таким свойством (принцип максимума): эта функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений всегда на границе области. Более того, можно доказать, что эти значения достигаются в точках, координаты которых имеют вид (1 ± d). Таких точек 2 = 512. В каждой из них следует вычислить определитель, а затем выбрать из полученных значений самое большое и самое маленькое. Это и будут числа M и m.