Дифференцируемость функции N переменных

Ф-ия u=f(x) назыв диффер в точке х0,если ее полное приращение в данной точке можно представить в виде ∆u=А1*∆х2+А2*∆х2+…+Аn*∆хn+α(∆х2)*∆х2+…+α(∆хn)*∆хn – ω(х0;∆х),где Аi-некоторые числа,не зависящие от ∆хi.

Перепишем ф-лу: ∆u=A1*∆x1+A2*∆x2+…+An*∆xn+ω(x0;∆x) (2)

|ω(x0;∆x)|/||∆x|| стремится к 0 при ||∆x||→0.

Ф-ия дифференцируема в каждой точке (x1, x2,…,xn),диффер на(x1, x2,…,xn).

[T] Если u=f(x1,x2,x3,…,xn) дифференцируема в точке M(x1, x2,…,xn), то существуют частные производные данной функции по всем переменным, причем , где I= . Доказательство: из условий дифференцируемости функции запишем: DxiU=AiDXi+aiDXi, I= . Найдем предел :

Следствия:

- условие дифференцируемости функции в точке М можно записать в виде: DxkU= (5)

- если u=f(x1,x2,x3…xn) дифференцируема в точке М, то ее представление приращение в форме (2) единственно. Док-во: В ф-ле (2) коэф-ты ∂u/∂xi опр единственным образом(по опр-нию частных произодных).

[Т2] Если u=f(x) диф в точке х0,то она непрер в точке х0. Док-во: lim∆u=0+0=0 при ∆x→0 и ∆хi→0 по опр-нию непрерывности ф-ии,что и т.д.

Замечание. Теорема,обратная теореме 1,не верна.

[Т3] Достаточное условие дифференцируемости функции: Если функция u=f(x1, x2,…,xn) имеет частные производные по всем переменным в некоторой окрестности точки М причем все частные производные непрерывны в самой точке Мо, то указанная функция дифференцируема в этой точке.

Функция u=f(x1,…xn) называется дифференцируемой в т М(x1, x2, …xn), если ее полное приращение представлено в виде

(2)Du=A1Dx1+A2Dx2+….+AnDXn +a1Dx1+…anDxn, где А1, А2, …, Аn некоторые числа, не зависящие от DX1,DX2….DX числа, а a1, a2, …am б-м функции соответственно при Dх1->0, Dх2->0, …Dхm->0 Условие называется условием дифференцируемости функции в данной точке М евклидова пространства Е^m

Соотношение (2)называется условием дифференцируемости функции, причем a1=a2….an=0, при DХ1=DХ2=DХ3…DХn=0 можно записать следующим образом: u=А1 Х1+ А2 Х2)+…+ Аn Хn

Ф-ия,имеющая в точке х0 непрерывные частные произв-ые,назыв непрерыв диф в точке х0.