Понятие неопределенного интеграла

Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на промежутке Х, то множество функций {F(x)+C} называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом òf(x)dx=F(x)+C. При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx- подынтегральным выражением, а переменная х- переменная интегрирования. òf(x)dx- выражает множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х.

Восстановление функции по ее производной,т.е. отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием этой функции, т.к. F’(x)=f(x) òF’(x)dx=F(x)+C

Интегрирование- операция обратная дифференцированию.

Замечание1.Чтобы проверить правильное интегрирование достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Замечание2.Далее будет доказано,что любая непрер функция имеет на этом отрезке первообразную,сл-но неопр интеграл.

Таблица основных интегралов:

1. ò0dx=C

1. òdx=x+C
2. òх^a dx=
3. òа^хdx=а^х/lna+C
4. òdx/x=ln|x|+C
5. òe^хdx=e^х+C
6. òsinxdx=-cosx+C
7. òcosxd'x=sinx+C
8. òdx/cos²x=tgx+C
9. òdx/sin²x=-ctgx+C
10. òdx/ =arcsinx +C=-arccosx+c
11. òdx/1+x²=arctgx+C=-arcctgx+C
12. òdx/x²+ a² =1/a arctgx/a+C
13. òdx/x²-a² =1/2a ln|x-a/x+a|+C
14. òdx/ =arcsin x/a +C
15. òdx/

Основные свойства неопр интеграла:

1. (òf(x)dx)’=f(x) и d'(òf(x)dx)=f(x)dx Доказательство: (òf(x)dx)’=(F(x)+C)’=F’(x)=f(x) и dòf(x)dx=(òf(x)dx)’dx=f(x)dx

2. òdF(x)=F(x)+C. Доказательство: т.к. òd'F(x)=F’(x)d'x, то по определению òF'(x)d'x=F(x)+C

3. òkf(x)dx=kòf(x)dx. Доказательство: (kF(x))’=kF’(x)=kf(x). Из определения следует, что kòf(x)dx=k[F(x)+C]=kF(x)+C1=òkf(x)dx, где С1=кС, ч.т.д.

4. ò(f(x)±g(x))dx=òf(x)dx±òg(x)dx. Доказательство: пусть F(x) и G(x) являются первообразными для функций f(x) и g(x) на промежутке Х, т.е. "хÎХ F’(x)=f(x), G'(x)=g(x). Тогда функции F(x)±G(x) являются первообразными для функция f(x)±g(x). Следовательно, òf(x)dx±òg(x)dx=(F(x)+C1)±(G(x)+C2)=(F(x)±G(x))+(C1±C2)=[F(x)±G(x)]+C=ò(f(x)±g(x))dx