Постановка задачи. Простейшая оптимизационная задача

Пусть f (X) - функция, определённая на некотором множестве V, с областью значений из R, а M - некоторое подмножество множества V. Любая оптимизационная задача задаётся тройкой (V, f, M). При этом требуется нахождение такого элемента X Î M, при котором f (X) достигает своего наименьшего или наибольшего значения при условии, что аргументы X функции пробегают элементы из M. Функция f (X) называется целевой, множество M - областью допустимых решений.

Кратко оптимизационную задачу в общем виде можно записать следующим образом:

f (X) ® opt,

X Î M Í V,

где opt либо min, либо max.

Если M = V, то задача называется задачей безусловной оптимизации, а если M ≠ V, то задача называется задачей условной оптимизации.

В курсе «Методы оптимизации» рассматриваются случаи, когда V = R ^п и V - некоторое множество функций действительной переменной. Именно, предмет методов оптимизаций изучает методы решения таких задач.

Раздел, который изучает случай V = R ^п, носит название «Математическое программирование». Раздел, который изучает случай, когда V - некоторое множество функций действительной переменной, называется «Вариационное исчисление»

В математическом программировании множество M, как правило, задаётся системой уравнений или неравенств, которая называется системой ограничений. Если функция f (X) и система ограничений являются линейными, то задача является задачей линейного программирования. Если f (X) или являются нелинейными, то задача называется задачей нелинейного программирования. (Заметим, что неравенства типа ³ можно заменить на неравенства типа £ умножением неравенства на -1).

В главе I рассматривается задача линейного программирования. В главе II - задача нелинейного программирования. Глава III посвящена оптимизационным вопросам на графах. Наконец, в главе IV рассматривается вариационное исчисление. Отметим, что в рамках дисциплины «Методы оптимизаций» рассматриваются только элементы соответствующих разделов. Продолжение изучения этих разделов предусматривается в дальнейшем в рамках других дисциплин («Системный анализ и исследование операций», «Теория принятия решений»).