Дифференциальные формы функции

Любую функцию f от n переменных можно рассматривать как функцию f: R ^п ® R, ставящую в соответствие произвольной точке X =(x ₁, x ₂, …, x_n) из R ^п некоторое число. Поэтому любую функцию f от n переменных можно рассматривать как функцию f (X) на некотором множестве M Í R ^п, и все понятия, связанные с понятием функции многих переменных, переносятся на функции на R ^п (в частности, такие понятия, как непрерывность, дифференцируемость и другие). Тем не менее, мы напомним некоторые понятия и факты, а также введём некоторые другие.

Поверхностью уровня функции f (X) называется множество точек, в которых функция принимает постоянное значение: f (X)=const. Если n =2, поверхность уровня носит название линии уровня.

Градиентом Ñ f (X ₀) непрерывно дифференцируемой функции f (X) в точке X ₀Î R ^п называется вектор-столбец, элементами которого являются частные производные первого порядка, вычисленные в данной точке:

Ñ f (X ₀)=

Градиент функции направлен по нормали к поверхности уровня, то есть перпендикулярно к касательной плоскости, проведённой в точке X ₀, в сторону наибольшего возрастания функции.

Так как градиент функции является вектором, то для градиентов нескольких функций можно рассматривать их линейную зависимость.

Матрицей ГессеH (X) в точке X дважды непрерывно дифференцируемой функции f (X) называется матрица частных производных второго порядка, вычисленных в данной точке:

H (X)= =

= ,

где h_ij = , i, j =1, 2, …, n.

Первым дифференциалом функцииf (X) (по переменным x ₁, x ₂, …, x_n) называется функция df (X)= .

Вторым дифференциалом функцииf (X) (по переменным x ₁, x ₂, …, x_n) называется функция d ² f (X)=

Введём обозначение: D X =(D x ₁, D x ₂, …, D x_n). Тогда

D X × H (X)×D X ^Т=(D x ₁, D x ₂, …, D x_n) =

является квадратичной формой от переменных D x ₁, D x ₂, …, D x_n.

С помощью критериев 2.2 и 2.3 можно исследовать знакоопределённость матрицы Гессе.