Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Раздел1 «Линейные пространства»1. Проверить, является ли данное множество линейным пространством: 1.1. Множество всех векторов, параллельных фиксированной плоскости. 1.2. Множество всех векторов, параллельных фиксированной прямой. 1.3. Множество геометрических векторов а̅ (x,y,z), координаты которых удовлетворяют условию х+y+z=0. 1.4. Множество всех матриц размера 2×3. 1.5. Множество невырожденных матриц третьего порядка. 1.6. Множество вырожденных матриц третьего порядка. 1.7. Множество многочленов степени не выше третьей. 1.8. Множество многочленов Р(t)=a0+a1t+a2t2 с положительными коэффициентами. 1.9. Множество расходящихся последовательностей. 1.10. Множество радиус-векторов, концы которых находятся на фиксированной прямой.
2. Доказать, что каждая из двух систем векторов образует базис и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах: e̅1 (1,2,1), e̅2 (2,3,3), e̅3 (3,7,1); e̅1̍ (3,1,4), e̅2̍ (5,2,1), e̅3̍ (1,1,-6) 3. Векторы e̅1(1,1,1), e̅2(1,1,2), e̅3(1,2,3) и х̅(6,9,14) заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы e̅1, e̅2, e̅3 образуют базис, и найти координаты вектора х̅ в этом базисе. 4. Доказать, что каждая из систем многочленов 1, х, х2 и 1-х, 2х-х2, -3х образует базис в пространстве многочленов степени не выше второй, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. 5. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если - поменять местами два вектора первого базиса? - поменять местами два вектора второго базиса? 6. В пространстве геометрических векторов V3 дана система векторов e̅1= 2i̅ + j̅ - 3k̅, e̅2= 3i̅ + 2j̅ - 5k̅, e̅3= i̅ - j̅ + k̅. Доказать, что данная система образует базис в V3, составить матрицу перехода от базиса i̅, j̅, k̅ к базису e̅1, e̅2, e̅3 и найти координаты вектора х̅=6 i̅ +2 j̅ - 7k̅ в базисе e̅1, e̅2, e̅3. 7. Дана матрица перехода от базиса e̅1, e̅2, e̅3 к базису e̅1̍, e̅2̍, e̅3̍. Найти координаты векторов e̅1, e̅2, e̅3 в базисе e̅1̍, e̅2̍, e̅3̍.
1 0 1 Т= 0 0 2 -1 3 0
8. Найти координаты многочлена t2-t+2 в базисе 1,t-1, (1-t)2. 9. Доказать, что если системы векторов Е: e̅1, e̅2 ,…e̅n, Е̍: e̅1̍, e̅2̍,…e̅n̍, Е̍ ̍: e̅1̍ ̍, e̅2̍ ̍,…e̅n̍ ̍ образуют базисы в пространстве Vn, то справедливо матричное равенство: Т Е→ Е̍ ̍ =Т Е→ Е̍ Т Е̍→ Е̍ ̍. 10. Установить, является ли изоморфизмом данное отображение V3 на R3: 10.1. φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (2x –y, z, x+y+z) 10.2. φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (x+y -1, 2z, 3y) 10.3. φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (x+y, -y+2z, x+2y-2z)
Ответы к разделу 1 1. 1.1 является. 1.2. является. 1.3. является. 1.4 является. 1.5. не является. 1.6.не является. 1.7. является. 1.8.не является. 1.9.не является 1.10 является, если прямая проходит через начало координат 2. х1=-27х1̍ - 71 х2̍̍- 41х3̍ х2=9х1̍ + 20 х2̍̍ + 9х3̍ х3=4х1̍ + 12 х2̍̍ + 8х3̍ 3. х̅(1,2,3) 4. Матрица перехода 1 0 0 -1 2 -3 0 -1 0 5. Поменяются местами две строки; поменяются местами два столбца. 6. Ответ 7. Ответ 8. (2,1,1) 9. Указание: воспользоваться определением матрицы перехода. 10. 10.1. является 10.2. не является, так как нарушено условие линейности отображения. 10.3. не является, так как нарушено условие взаимной однозначности отображения.
Раздел 2 «Линейные подпространства и линейные многообразия» 1. Проверить, являются ли заданные множества линейными подпространствами; указать какой-нибудь базис и размерность линейных подпространств: 1.1. Множество всех геометрических векторов из V3, компланарных фиксированной плоскости. 1.2. Множество геометрических векторов из V3, удовлетворяющих условию (͞х,͞а)=0, где͞ а-фиксированный вектор. 1.3. Множество всех геометрических векторов из V3, удовлетворяющих условию | ̅х̅ | =1. 1.4. Множество всех векторов из Rn вида: ̅х=(0, х2, 0, х4, х5,…хn) 1.5. Множество всех симметрических матриц порядка n. 1.6. Множество решений линейной однородной системы уравнений x1+2x2 – x3+x4 - 3x5=0 x2 –4 x3+x5=0 1.7. Множество всех векторов из Rn, координаты которых удовлетворяют условию: х1=хn. 2. Найти размерность линейной оболочки L(x̅1, x̅2) арифметических векторов x̅1(1, 0, 2, -1), x̅2(0, -1, 2, 0). Показать, что вектор x̅(1, -1, 4, -1) принадлежит оболочке. 3. Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки заданной системы векторов x̅1(1, 0, 0, -1), x̅2(2, 1, 1, 0), x̅3(1, 1, 1, 1), x̅4(1, 2, 3, 4), x̅5(0, 1, 2, 3). 4. Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки заданной системы векторов x̅1(1, 1, 1, 1, 0), x̅2(1, 1, -1, -1, -1), x̅3(2, 2, 0, 0, -1), x̅4(1, 1, 5, 5, 2), x̅5(1, -1, -1, 0, 0). 5. Найти размерность суммы и пересечения линейных оболочек L(x̅1, x̅2) и L(y̅1, y̅2): x̅1(1, 2, 1, 0), x̅2(-1, 1, 1, 1); y̅1(2, -1, 0, 1), y̅2(1, -1, 3, 7) 6. Найти размерность суммы и пересечения линейных оболочек L(x̅1, x̅2, x̅3) и L(y̅1, y̅2): x̅1 (1, 2, -1, -2), x̅2 (3, 1, 1, 1), x̅3 (-1, 0, 1, -1); y̅1 (2, 5, -6, -5), y̅2 (-1, 2, -7, -3) 7. Написать уравнение геометрического образа линейной оболочки L(а̄) и многообразия L(а̄) +b̅, если а̄= -2i̅ + j̅ - k̅, b̅= 2i̅ - j̅. 8. Написать уравнение геометрического образа линейной оболочки L(а̄1, a̅2) и многообразия L(а̄1, a̅2) + b̅, если а̄1= -i̅ + j̅ + k̅, а̄2=2 j̅ - k̅ b̅= i̅ + k̅. 9. Задана система уравнений x1+ x2 – 3x3 - x4 + x5=1 3x1- x2 + x3 + 4x4 + 3x5=4 x1- 5x2 - 9x3 - 8x4 + x5=0. Доказать, что множество решений этой системы есть линейное многообразие в пространстве R5.Сдвигом какого подпространства получается это линейное многообразие? Найти ранг и какой-нибудь базис этого подпространства. Найти какой-нибудь вектор сдвига.
Ответы к разделу 2
1. 1.2. является, dimL=1, 1.3.не является, 1.4. является, dimL=n-2, 1.5. является, dimL=n2 - Cn2, 1.6. является, dimL=3, 1.7.является, dimL=n-1 2. dimL=2. 3. dimL=2 4. dimL=3. 5. Размерность пересечения равна 1, базисный вектор имеет координаты z̅ (5, -2, -3, -4); размерность суммы равна 3, базис составлен, например, из векторов z̅, x̅1, y̅1. 6. Сумма совпадает с первым пространством, пересечение – со вторым. 7. Линейная оболочка – прямая, проходящая через точку (0, 0, 0) параллельно вектору с координатами (-2, 1, -1), линейное многообразие - прямая, проходящая через точку (2,-1, 0) параллельно вектору с координатами (-2, 1, -1) 8. Линейная оболочка – плоскость -3x – y - 2z =0, линейное многообразие – плоскость -3x – y - 2z + 5=0. 9. Множество решений неоднородной системы есть линейное многообразие, полученное из подпространства размерности 3 решений соответствующей однородной системы сдвигом на произвольное частное решение неоднородной системы. 10. Доказать, что пространство Rn есть прямая сумма двух линейных подпространств: L1, заданного уравнением х1+х2+…+хn=0 и L2, заданного системой уравнений х1=х2=…=хn. 11. Пусть линейное пространство L является прямой суммой линейных подпространств L1 и L2. Доказать, что размерность L равна сумме размерностей подпространств L1 и L2, причем любые базисы L1 и L2 дают вместе базис L. 12. Доказать, что сумма L линейных подпространств L1 и L2 тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один вектор x̅, принадлежащий L, представляется в виде x̅= x̅1+ x̅2, где x̅1 принадлежит L1, x̅2 принадлежит L2.
Раздел3 «Евклидовы пространства»
1. Пусть͞ х(х1, х2), ȳ(y1, y2) - произвольные векторы арифметического пространства R2. Проверить, можно ли следующими способами определить скалярное произведение в R2: 1.1. (x̄,ȳ) = 2 х1 y1+ 5 х2 y2; 1.2. (x̄,ȳ) = х1 y1+ х1 y2+ х2 y1+ х2 y2. Записать неравенство Коши – Буняковского в тех случаях, где это возможно. 2. Доказать, что в пространстве многочленов не выше n-1 степени скалярное произведение многочленов p(t)=a0+a1t+…+an-1tn-1 и q(t)=b0+b1t+…+bn-1tn-1 можно определить следующим способом: (p,q)= a0b0+a1b1+…+an-1bn-1 Написать неравенство Коши – Буняковского, неравенства треугольника для этого пространства. 3. Найти нормированный вектор, ортогональный к векторам: (1,1,1,1), (1,-1,-1,1), (2,1,1,3). 4. Проверить, что векторы следующей системы попарно ортогональны: x̅1(1, 1, 1, 2), x̅2(1, 2, 3, -3) 5. Построить ортонормированный базис пространства, приняв за два вектора этого базиса векторы (1∕ 2, 1∕ 2, 1∕ 2, 1∕ 2) и (1∕6, 1∕6, 1∕2, -5∕6). 6. Посредством процесса ортогонализации, найти ортогональный базис подпространства, натянутого на данные системы векторов: 6.1. x̅1(1,2,2,-1), x̅2(1,1,-5,3), x̅3(3,2,8,-7) 6.2. x̅1(1,1,-1,-2), x̅2(5,8,-2,-3), x̅3(3,9,3,8) 7. Проверить ортогональность следующей системы векторов и дополнить ее до ортогонального базиса: x̅1(1,-2,1,3), x̅2(2,1,-3,1) 8. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x̅(4,-1,-3,4) на линейное подпространство L, натянутое на векторы ē1(1,1,1,1), ē2(1,2,2,-1), ē3(1,0,0,3). 9. Найти базис ортогонального дополнения подпространства L, натянутого на векторы: ē1(1,0,2,1), ē2(2,1,2,3), ē3(0,1,-2,1). 10. Доказать, что в действительном евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора, а также ей обратная: два вектора x̅ и y̅ ортогональны тогда и только тогда, когда | x̅ - y̅ |2= | x̅ |2+ | y̅ |2. Ответы к разделу 3 1. 1.1.можно, 1.2.нельзя 2. Ответ 3. (0, 1 ∕√2, -1 ∕√2, 0) 4. 5. За остальные два вектора можно взять, например, 1∕√26(0, -4, 3, 1) и 1∕√234(-13, 5, 6, 2). 6. 6.1. (1,2,2,-1), (2,3,-3,2), (2,-1, -1, -2), 6.2. (1,1,-1,-2), (2,5,1,3) 7. (-4,2,-1,3), (2,4,3,1) 8. Ортогональная проекция (1,-1,-1,5), ортогональная составляющая (3,0,-2,-1) 9. Базис ортогонального дополнения (2,-2,-1,0), (1,1,0,-1)
Раздел4 «Линейные операторы»
1. Установить, какие из заданных отображений пространства V3 являются линейными операторами, выписать их матрицы в базисе i̅, j̅, k̅: 1.1. Аx̅ = λx̅. 1.2. Аx̅ = λx̅ +a̅, λ и a̅ фиксированы. 1.3. Аx̅ =(x̅, e̅) e̅, где e̅ - заданный единичный вектор. 1.4. Аx̅ = [ a̅, x̅], где a̅- фиксированный вектор. 1.5. Аx̅ = (y+z) i̅ + (2x+z) j̅ +(3x-y+z) k̅, где x̅ = x i̅ +y j̅ +z k̅. 2. Установить, какие из заданных отображений пространства арифметических векторов R3 в себя являются линейными, выписать их матрицы в каноническом базисе: 2.1. Аx̅ = (x2+x3, 2x1+x3, 3x1-x2+x3) 2.2. Аx̅ = (x1, x2+1, 2+x3) 2.3. Аx̅ = (0, x2-x3, 0) 3. Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства всех многочленов степени не выше n от одного неизвестного с вещественными коэффициентами, найти матрицу этого преобразования в базисе 1,х, х2,…хn. 4. В пространстве L4 задан линейный оператор, матрица которого в некотором базисе e̅1, e̅2, e̅3, e̅4 равна 1 2 0 1 А = 3 0 -1 2 2 5 3 1 1 2 1 3 Найти матрицу оператора в базисе e̅1, e̅1+ e̅2, e̅1+ e̅2+ e̅3, e̅1+ e̅2+ e̅3+ e̅4 5. В пространстве L3 заданы два базиса: e̅1̍ = 8e̅1 - 6e̅2 + 7e̅3, e̅2̍=-16e̅1 +7e̅2 -13e̅3, e̅3=9e̅1 - 3e̅2 + 7e̅3 e̅1̍ ̍= e̅1 - 2e̅2 + e̅3, e̅2̍ ̍= 3e̅1 - e̅2 + 2e̅3, e̅3̍ ̍=2e̅1 + e̅2 + 2e̅3. Найти матрицу оператора в базисе e̅1̍ ̍, e̅2̍ ̍,, e̅3̍ ̍, если его матрица в базисе e̅1̍, e̅2̍, e̅3̍ имеет вид 1 -18 15 А̍ = -1 -22 20 1 -25 22 6. В пространстве L2 оператор А в базисе a̅1(1,2), a̅2(2,3) имеет матрицу 3 5 A = 4 3, а оператор В в базисе b̅1(3,1), b̅2(4,2) имеет матрицу 4 6 В = 6 9. Найти матрицу оператора А+В в базисе b̅1, b̅2. 7. Описать ядро и образ линейного оператора, действующего в пространстве V3: Аx̅ =(x̅, e̅) e̅, где e̅ - заданный единичный вектор. 8. Описать ядро и образ линейного оператора, действующего в пространстве V3: Аx̅ = [ a̅, x̅], где a̅- фиксированный вектор. 9. Для линейного оператора, действующего в пространстве R3, определить ранг и дефект, а также найти базисы ядра и образа: Аx̅ = (x1+2x2+x3, x1- x3, x1+ x2). 10. Доказать, что оператор невырожденный тогда и только тогда, когда его дефект равен нулю, а, следовательно, ранг совпадает с размерностью пространства. 11. Найти собственные значения и собственные векторы оператора проектирования на плоскость Oxy в пространстве V3. 12. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей в некотором фиксированном базисе: 2 -1 2 А = 5 -3 3 -1 0 -2 13. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей в некотором фиксированном базисе: 0 1 0 А = -4 4 0 -2 1 2 14. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей в некотором фиксированном базисе: 4 -5 2 А = 5 -7 3 6 -9 4 15. Выяснить, какие из матриц линейных операторов можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису, найти этот базис и соответствующую ему матрицу: 15.1. -1 3 -1 А= -3 5 -1 -3 3 1 15.2. 6 -5 -3 А= 3 -2 -2 2 -2 0
Ответы к разделу 4 1. 1.1.является, матрица оператора λ 0 0 А = 0 λ 0 0 0 λ 1.2.не является 1.3.является оператором проектирования на ось 1.4.является, если a̅ = a1i̅ +a2j̅ +a3k̅, то матрица перехода 0 -a3 a2 А= a3 0 -a1 -a2 a1 0 1.5. является, матрица оператора 0 1 1 А = 2 0 1 3 -1 1 2. 2.1.является, матрица оператора 0 1 1 А = 2 0 1 3 -1 1 2.2. не является. 2.3. является, матрица оператора 0 0 0 А = 0 1 -1 0 0 0 3. матрица оператора
0 1 0 … 0 0 0 2 … 0 А= … … … … … 0 0 0 … n 0 0 0 … 0
4. Матрица оператора
-2 0 1 0 А = 1 -4 -8 -7 1 4 6 4 1 3 4 7 5. Матрица оператора в базисе e̅1̍ ̍, e̅2̍ ̍,, e̅3̍ ̍ имеет вид
1 2 2 А̍ ̍= 3 -1 -2 2 -3 1 6.Матрица оператора А+В 44 44 А+В= -29,5 -25 7. Ядро оператора - двумерное подпространство векторов, ортогональных вектору e̅, образ оператора - одномерное подпространство векторов, коллинеарных вектору e̅. 8. Ядро оператора - одномерное подпространство векторов, коллинеарных вектору a̅, образ оператора - двумерное подпространство векторов, ортогональных вектору a̅. 9. Дефект оператора равен 1, ранг оператора равен 2. В качестве базиса образа оператора могут быть выбраны, например, векторы e̅1(1,1,1), e̅2(2,0,1,), в качестве базиса ядра оператора может быть выбран, например, вектор e̅(1,-1,1). 11.λ1=1, собственные векторы– векторы, компланарные плоскости Oxy; λ2=0, собственные векторы- векторы, ортогональные плоскости Oxy. 12. λ=-1, x̅=t(1,1,-1)т. 13. λ=2, x̅=t1(1,2,0)т+ t2(0,0,1)т. 14. λ1=1, x̅λ1=t (1,1,1)т λ2=0, x̅λ2=s (1,2,3)т 15. 1 0 0 15.1. А= 0 2 0 0 0 2, Базис образуют, например, векторы e̅1(1,1,1), e̅2(1,0,0), e̅3(1,0,-3). 16. Матрица к диагональному виду не приводится.
Раздел 5 «Линейные операторы в пространстве со скалярным произведением» 1. Линейный оператор А в базисе e̅1(1,0), e̅2(1,1) имеет матрицу 1 2 А= 1 -1. Найти матрицу сопряженного оператора в базисе e̅1, e̅2, если векторы e̅1, e̅2 заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе. 2. Линейный оператор А в базисе e̅1(1,2,1), e̅2(1,1,2), e̅3(1,1,0) имеет матрицу 1 1 3 А = 0 5 -1 2 7 -3. Найти матрицу сопряженного оператора в базисе e̅1, e̅2, e̅3, если векторы e̅1, e̅2, e̅3 заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе. 3. Вычислить Аn, если
1 1 А= 0 2
4. Доказать, что операция * перехода от оператора А к сопряженному оператору А* обладает следующими свойствами 4.1. (А*)*=А 4.2. (А+В)*=А*+В* 4.3. (АВ)*=В*А* 4.4. (kA)*=kA*
5. В пространстве многочленов степени не выше второй задано скалярное произведение: (f,g)=a0b0+a1b1+a2b2, где f(t)=a0+a1t+a2t2. Найти матрицы оператора дифференцирования D и сопряженного оператора D* в базисе 0.5t2-0.5t, t2-1, 0.5t2+0.5t. 6. Выяснить, можно ли с помощью перехода к новому базису диагонализировать оператор А, заданный своей матрицей в некотором фиксированном базисе. Найти этот базис и соответствующую ему диагональную форму матрицы 6.1. 1 1 1 А= 1 1 1 1 1 1 6.2. 2 -1 2 А= 5 -3 3 -1 0 -2 7. Найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей 11 2 -8 А= 2 2 10 -8 10 5
Ответы к разделу 5 1. 3 6 А* = -1 -3 2. -83 -59 -45 А = 107 83 67 14 10 3 3. 1 2n-1 An = 0 2n
5. -1.5 -2 -0.5 D= 0.5 0 -0.5 0.5 2 1.5 6. 6.1. 3 0 0 А= 0 0 0 0 0 0 Базис e1(1,1,1), e2(1,0,-1), e3(0,1,-1). 6.2. матрица оператора не диагонализируется 7. 9 0 0 0 -9 0 0 0 18 Базис e1(2/3,2/3,1/3), e2(1/3,-2/3,2/3), e3(-2/3,1/3,2/3).
|