Примеры. Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица, состоящая из чисел

Матрицы

2.1. Определения

Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица, состоящая из чисел.

Примером матрицы является n -мерный вектор. Если он записан в виде вектора-строки, то мы имеем матрицу, состоящую из одной строки и n столбцов, т.е матрицу порядка 1 ´ n. Вектор-столбец ест матрица порядка
n ´ 1.

В общем случае, если матрица имеет m строк и n столбцов, говорят, что она имеет порядок m ´ n. Если m = n, то матрица называется квадратной порядка n.

Элементы матрицы А обозначаются символами а_ij.

Примеры.

Матрица А порядка m ´ n записывается следующим образом:

А =

или, в сокращенной записи, А = (), i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n.

2.2. Операции над матрицами

1. Транспонирование матрицы.

Операция транспонирования состоит в том, что строки матрицы записываются в столбцы с сохранением порядка следования. Если матрица имеет порядок m ´ n, то транспонированная матрица – порядок n ´ m.

А= ® А^T = .

2. Сложение матриц.

Операция сложения состоит в том, что соответствующие элементы матрицы складываются. Складывать можно только матрицы одного и того же порядка (одинаковое число строк и одинаковое число столбцов)! Сумма матриц имеет тот же порядок.

А= , B= ® A + B =

3. Умножение матрицы на число.

Операция умножения матрицы на число состоит в том, что все элементы матрицы умножаются на это число.

А= ® (–2)A = .

4. Умножение матриц.

Умножение матрицы на матрицу производится по правилу «строка на столбец».

Матрицы А и В должны иметь согласованные порядки.

Если матрица А имеет порядок m ´ n, то для того, чтобы можно было умножить ее на матрицу В, матрица В должна иметь порядок n ´ k, при этом числа m и k могут быть различными. Иначе говоря, число столбцов матрицы А (первой матрицы) должно равняться числу строк матрицы В (второй матрицы). Порядок матрицы С = АВ равен m ´ k.

Элемент c_ij матрицы С равен скалярному произведению i -й вектор-строки матрицы А на j -й вектор-столбец матрицы В.

A = , B = , C = .

c ₁₁ = (1; 2) = 1×3 + 2×1 = 5; c ₁₂ = (1; 2) = 1×(–5) + 2×2 = –1;

c ₂₁ = (–1; 3) = –1×3 + 3×1 = 0; c ₂₂ = (–1; 3) = –1×(–5) + 3×2 = 11.

Итак, С = АВ = .

Свойства операций над матрицами

1. А + В = В + А(коммутативность сложения матриц).

2. (А + В) + С = А + (В + С) (ассоциативность сложения матриц).

3. А + О = О + А = А (нейтральность нулевой матрицы относительно сложения).

4. Для любой матрицы Анайдется такая матрица B, что А + В = В + А = О (существование противоположной матрицы).

5. 1А = А (сохранение матрицы при умножении на нее единицы).

6. a(bA) = (ab)A, где a, b – произвольные действительные числа (ассоциативность умножения числа на матрицы).

7. (a+b)A = aA + bA, где a, b – произвольные действительные числа (дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел).

8. a(A + В) = aA + aВ, где a – произвольное действительное число (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц).

9. (А + В)^Т = А^Т + В^Т.

10. (АВ)^Т = В^ТА^Т.

Нетрудно установить, что выполняются также следующие свойства.

1. 0А = О для любой матрицы А.

2. Для любой матрицы А противоположная матрица А является единственной и обозначается как “ – А”.

3. (–1)А = – А для любой матрицы А.

4. a О = О для любого числа a.

5. Определитель матрицы.

Если матрица А квадратная, то для нее можно вычислить определитель, который обозначается det(A) или |A|.

6. Обратная матрица.

Пусть А – квадратная матрица порядка n, Е – единичная матрица порядка n, т.е.

Е = .

Матрица В порядка n называется обратной к матрице A, если

АВ = ВА = Е.

Теорема об обратной матрице. Пусть А – квадратная матрица. Если
|A| ¹ 0, то для матрицы А существует единственная обратная матрица.

Единственную обратную матрицу обозначают A^–1.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Вычисляется определитель матрицы А.

2. Находится транспонированная матрица А^Т = (a_ij ^T)

3. Находится присоединенная матрица A^*=(a_ij ^*). Элементы присоединенной матрицы: a_ij ^* = А _ij ^T, где А _ij ^T – минор элемента a_ij ^T.

4. Находится обратная матрица A^–1 = A^*.

Если для квадратных матриц одного порядка А и В существуют обратные, то выполняются следующие свойства:

1. (aA)^–1 = A^–1, если a ¹ 0.

2. (AВ)^–1 = В^–1А^–1.

2.3. Ранг матрицы

Определение 2. Строчным (горизонтальным) рангом матрицы называется ранг системы векторов-строк этой матрицы.

Определение 3. Столбцовым (вертикальным) рангом матрицы называется ранг системы векторов-столбцов этой матрицы.

Определение 4. Минором k-го порядка матрицы А называется определитель, составленный из элементов, находящихся на пересечении любых k строк и любых k столбцов матрицы А.

Минорами первого порядка являются элементы матрицы А. Если матрица А квадратная порядка n, то существует единственный минор n -го – определитель матрицы А; минорами n –1 матрицы А являются миноры элементов определителя матрицы А.

Определение 5. Минорным рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Теорема (о равенстве трех рангов). Какова бы ни была матрица, ее строчный, столбцовый и минорный ранги равны между собой.

В силу теоремы о равенстве трех рангов можно ввести понятие «ранг матрицы», не уточняя при этом, о каком ранге идет речь. Ранг матрицы А обозначается r(A).