Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Если при и неравенство (1) выполняется как строгое, то функция называется строго выпуклойВыпуклые функции
Определение 1. Функция, определенная на, называется выпуклой, если для любых и любого выполняется неравенство . (1) Если при и неравенство (1) выполняется как строгое, то функция называется строго выпуклой. Определение 2. Функция , определенная на , называется вогнутой (строго вогнутой), если функция является выпуклой (строго выпуклой). Очевидно, что любая строго выпуклая (строго вогнутая) функция является выпуклой (вогнутой) функцией, но не наоборот. Приведем некоторые операции допустимые в классе выпуклых функций. Теорема 1. Пусть все функции , , выпуклы на , числа . Тогда функция также выпукла. Доказательство. Пусть заданы векторы и число . Так как функции , выпуклы, то для всех выполняются неравенства . Умножая эти неравенства на неотрицательные величины и суммируя их по , получим неравенство . Следовательно, . Что и требовалось. Теорема 2. Пусть на определены функции , . Если все – выпуклые, то функция также выпуклая. Доказательство. Пусть заданы векторы и число . Так как функции выпуклы, то для всех выполняются неравенства . Следовательно,
для всех . Из полученных неравенств имеем
то есть . Что и требовалось. Приведем теоремы о суперпозициях выпуклых функций. Теорема 3. Пусть функция определена на отрезке и является на нем выпуклой и неубывающей; функция выпукла на выпуклом множестве , , для всех . Тогда функция выпукла на . Доказательство. Пусть , . Тогда в силу выпуклости функции на . Очевидно, что . Поэтому, а также в силу монотонности и выпуклости на , имеем
Следовательно, . Что и требовалось. Теорема 4. Пусть – матрица размерности , – вектор размерности , – функция, определенная и выпуклая на многообразии , . Тогда функция выпукла на . Доказательство. Пусть заданы векторы и число . Тогда имеем
Что и требовалось. Далее покажем, что выпуклость функции многих переменных можно установить, исследуя на выпуклость ее сужения на всевозможные прямые в . Выпуклость функции одной переменной установить зачастую значительно проще, чем выпуклость функции многих переменных. Пусть заданы функция и векторы . Сужение функции на прямую определим следующим образом: . (2) Теорема 5. Функция является выпуклой тогда и только тогда, когда выпуклой является и функция , определенная по формуле (2) при любых . Доказательство. Необходимость. Пусть –
выпуклая функция, . Покажем, что функция также является выпуклой. Пусть . Тогда Достаточность. Предположим, что для произвольных функция – выпуклая. Пусть и . Тогда Что и требовалось. Далее установим связь между выпуклыми множествами и выпуклыми функциями. Пусть – некоторая константа. Множество называется лебеговым множеством функции . Теорема 6. Пусть функция выпукла на . Тогда любое ее лебегово множество выпукло. Доказательство. Пусть , . Тогда из и в силу выпуклости . Таким образом, , что и означает выпуклость множества . Эта теорема устанавливает одностороннюю связь между выпуклыми множествами и выпуклыми функциями. Утверждение, обратное теореме 6, не имеет места.
|