Схемы логически правильных рассуждений

Теория.

Схемы логически правильных рассуждений:

1. Правило заключения – утверждающий модус (Modus Ponens):

"Если из высказывания А следует высказывание В и справедливо (истинно) высказывание А, то справедливо В ". Обозначается:

.

2. Правило отрицания – отрицательный модус (Modus Tollens):

"Если из А следует В, но высказывание В неверно, то неверно А ":

.

3. Правила утверждения-отрицания (Modus Ponendo-Tollens):

"Если справедливо или высказывание А, или высказывание В (в разделительном смысле) и истинно одно из них, то другое ложно":

.

4. Правила отрицания-утверждения (Modus Tollen-Ponens):

а) "Если истинно или А, или В (в разделительном смысле) и неверно одно из них, то истинно другое":

.

б) "Если истинно А или В (в неразделительном смысле) и неверно одно из них, то истинно другое":

.

5. Правило транзитивности (упрощенное правило силлогизма):

"Если из А следует В, а из В следует С, то из А следует С":

.

6. Правило противоречия:

"Если из А следует В и В, то неверно А":

.

7. Правило контрапозиции:

"Если из А следует В, то из того, что неверно В, следует, что неверно А":

.

8. Правило сложной контрапозиции:

"Если из А и В следует С, то из А и С следует B:

.

9. Правило сечения:

"Если из А следует В, а из В и С следует D то из А и С следует D ”:

.

Приведем без пояснений еще несколько правил умозаключений.

10. Правило импортации (объединения посылок):

.

11. Правило экспортации (разъединения посылок):

.

12. Правила дилемм:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Примечание. Для построения логических формул, отражающих указанные выше логически правильные рассуждения, следует все посылки соединить связкой "И" (&) и полученную таким образом обобщенную посылку – связкой "если..., то..." (→). Например, правило заключения (Modus Ponens) должно быть представлено логической формулой

.

Схемы логически неправильных рассуждений:

а) ;

б) ;

в)

и др.

Пример 5. Проверить с помощью таблиц истинности правильность рассуждений представленных:

а) формулой (5) (правило транзитивности)

;

б) формулой (6) (правило противоречия)

;

в) формулой (7) (правило контрапозиции).

.

Решение:

Составим формулы для данных высказываний:

а) ;

б) ;

в) .

Составим таблицы истинности для данных составных высказываний. Получим:

а)

б)

в)

Из таблицы видно, что для всех выражений функция принимает значение «истина» при всевозможных значениях элементарных высказываний. Следовательно, данные рассуждения верны.

Пример 6. Проверить с помощью таблиц истинности правильность рассуждений представленных формулами логически неправильных рассуждений:

а) ;

б) ;

в)

Решение:

Представим данные выражения формулами:

а) ;

б) ;

в) .

Таблицы истинности будут иметь вид:

а)

б)

в)

Из таблицы видно, что функции принимает значение «ложь» при некоторых значениях элементарных высказываний. Следовательно, данные рассуждение не верны.

Пример 7. Записать логической формулой следующее умозаключение:

«Если фирма приглашает на работу крупного специалиста в области компьютерных технологий, то она считает ее привлекательной и разворачивает работы по изменению технологии производства своего традиционного программного продукта или начинает разработку нового программного продукта. Конкурирующая фирма пригласила на работу крупного специалиста в области компьютерных технологий. Следовательно, она разворачивает работы по изменению технологии производства выпускаемого программного продукта или разработке нового программного продукта».

Уточнить справедливость данного умозаключения.

Решение.

Выделим простые высказывания и введем обозначения:

A – «Фирма приглашает на работу крупного специалиста в области компьютерных технологий»;

B – «Фирма считает данную компьютерную технологию привлекательной»;

C – «Фирма разворачивает работы по изменению технологии производства своего традиционного программного продукта»;

D – «Фирма начинает разработку нового программного продукта».

С учетом принятых обозначений умозаключение примет вид:

«Если A, то B и (C или D). A. Следовательно, C или D.»

Используя логические связки, получим окончательно:

.

Для проверки правильности умозаключения восстановим схему рассуждения и сравним ее со схемой правила заключения 1:

.

В соответствии с этим правилом истинно заключение . Конъюнкция двух высказываний B и истинна, если истинны оба высказывания. Полагая, что B истинно (что видно из контекста), истинно также . Таким образом, данное умозаключение верно при истинности B.

Пример 8. Следует установить, правильно ли рассуждение:

"Если функция на данном интервале непрерывна и имеет разные знаки на концах, то внутри данного интервала функция обращается в нуль. Функция не обращается в нуль внутри данного интервала, но на концах интервала имеет разные знаки. Следовательно, функция разрывна."

Решение.

Посылки и заключения в данном рассуждении состоят из следующих элементарных высказываний:

А – "Функция непрерывна на данном интервале."

В – "Функция обращается в нуль внутри данного интервала."

С – "Функция имеет разные знаки на концах интервала."

Используя эти обозначения, запишем посылки и заключения в виде формул:

Рассуждение верно, если импликация

тождественно истинна. Для проверки правильности рассуждения построим таблицу истинности:

Убеждаемся, что рассуждение верно, так как значение результирующей функции всегда истинно.

Пример 9. Следует установить, правильно ли рассуждение:

«Если число делится на 2 и на 3, то оно не делится на 6. Данное число делится на 3. Следовательно, если оно не четное, то оно не делится на 6».

Решение.

Посылки и заключения в данном рассуждении состоят из следующих элементарных высказываний:

А – "Число делится на 2."

В – "Число делится на 3."

С – "Число делится на 6."

Используя эти обозначения, запишем посылки и заключения в виде формул:

Рассуждение верно, если импликация

тождественно истинна.

Для проверки правильности рассуждения построим таблицу истинности:

Отсюда видно, что рассуждение не верно, так как значение результирующей функции не всегда истинно.

Пример 10. Следует установить, правильно ли рассуждение:

«Если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6. Данное число делится на 3. Следовательно, если оно четное, то оно делится на 6».

Решение.

Посылки и заключения в данном рассуждении состоят из следующих элементарных высказываний:

А – "Число делится на 2."

В – "Число делится на 3."

С – "Число делится на 6."

Используя эти обозначения, запишем посылки и заключения в виде формул:

Рассуждение верно, если импликация

тождественно истинна. Для проверки правильности рассуждения построим таблицу истинности:

Отсюда видно, что рассуждение верно, так как значение результирующей функции всегда истинно.