Основное уравнение гидростатики

Приведем уравнения равновесия жидкости к удобному для интегрирования виду, для этого умножим каждое соответственно на dx, dy, dz и сложим, получим

.

Выражение в скобках есть полный дифференциал гидростатического давления, тогда

.

Правая часть уравнения при = является полным дифференциалом потенциальных сил, необходимым для сохранения равновесия жидкости, тогда

Рассмотрим наиболее общий случай равновесия жидкости, заключенной в сосуде, когда она находится в покое под действием силы тяжести и давления p0на свободной поверхности (рис. 2.7).

В оси координат поместим жидкость, заключенную в сосуде, выделим в точке А частицу жидкости с массой m = 1.

Рис. 2.7

Проекции массовых сил на оси координат будут иметь значения: X = 0; Y = 0; Z = –g.

Уравнение равновесия жидкости примет вид .

Выражение является дифференциальным уравнением равновесия жидкости, находящейся под действием силы тяжести. Интегрируя его, получим .

Для нахождения постоянной интегрирования C воспользуемся граничными условиями: при z = z0, p = p0; при этом z0– z = h.

Тогда , полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики.

Величина p является абсолютным давлением в рассматриваемой точке; p0– внешнее поверхностное давление; – весовое давление.

Из основного уравнения гидростатики видно, что абсолютное гидростатическое давление в некоторой точке на глубине h равно сумме внешнего давления на свободную поверхность жидкости p0 и давления от веса столба жидкости с площадью основания 1 и высотой h, равной глубине погружения рассматриваемой точки от свободной поверхности.

Анализируя уравнение , видим, на сколько увеличивается давление на свободной поверхности жидкости, на столько же увеличивается и гидростатическое давление в рассматриваемой точке. По закону Паскаля, внешнее давление передается в жидкости во все стороны одинаково.