Пример 3. Выделить целую часть данной неправильной рациональной дроби

=

Выделить целую часть данной неправильной рациональной дроби.

D х ³+3 х ² +5 х +7 х +2

x ³ + 2 х x +3+3 x +1

3 x ² + 3 x+ 7 х ² +2

3 х ² + 6

3 х + 1

Следовательно, . Ñ

2) Найти корни уравнения и разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители: … …, где < 0, < 0, т.е. трехчлены имеют комплексно сопряженные корни.

Представленное разложение основано на теоремах высшей алгебры. Доказывается, что каждый многочлен может быть представлен в виде произведения

(*)

где - коэффициент при старшей степени многочлена корни уравнения Q(x)=0. Если среди множителей имеются совпадающие, то Q(x) представляют в виде (**)

где целые числа, которые соответственно называются кратностями корней

,причем где n - степень многочлена Q(x).

Среди корней представления (**) могут быть комплексные. Эти корни входят

сопряженными парами и ,где . Перемножив эти два множителя, получим

где

Таким образом, представление(**) можно записать в виде

(1)

где действительные числа.

Обозначения, используемые в(1),принимаем для удобства записи разложения (2) (см. ниже).

Пример 4. Найти корни знаменателя правильной дроби .

D Легко видеть, что многочлен обращается в нуль при х = - 1, поэтому он делится без остатка на х +1.

Выполним деление:

х ³+6 х ²+11 х +6 х +1

x ³ + х ² x ²+5 x +6

5 x ² + 11 x

5 х ² + 5 х

6 х + 6

6 х + 6

Следовательно, Ñ

3) Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:

… … …+

…

… …, (2)

где А₁, А₂,…А_к, В₁, В₂,…В ,… К₁, К₂,…К_m,… L₁, L₂,…L_m,… M₁, M₂,…M_n,… N₁, N₂,…N_n – некоторые вещественные числа.

Это разложение регулируется теоремой, доказываемой в высшей алгебре, согласно которой рациональную функцию , в которой степень многочлена числителя меньше степени многочлена в знаменателе, а многочлен Q(x) имеет вид (1), можно единственным образом представить в виде (2).

Примеры записи разложения правильной рациональной дроби на элементарные:

Пример 5.

Пример 6.

4) Вычислить неопределенные коэффициенты, для чего привести равенство (2) к общему знаменателю, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.

Пример 7. Дробь разложить в сумму простейших.

D Искомое разложение имеет вид: .

Приводя правую часть к общему знаменателю, получим тождественное равенство

Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях х дает систему уравнений:

, , , откуда получаем .

Следовательно, искомое разложение будет иметь вид:

. Ñ

Можно определить коэффициенты А, , и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольные числовые значения (в первую очередь значения действительных корней знаменателя Q(x)): х = 0, х = 1 и, например,

х = -1. При х = 0 находим А = 4, при х = 1 получаем В ₂=9, а при х = -1 имеем , т.е. В ₁ = -3.

Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффициентов.

5) Найти интегралы выделенной целой части и всех простейших дробей, которые затем сложить.

Пример 8. Вычислить интеграл .

D Так как , то представим дробь в виде следующей суммы:

, т.е. или .

Итак, .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества, составим систему уравнений: .

Решив систему, получим , , .

Следовательно,

. Ñ

В заключение отметим, что в ряде случаев возможно интегрирование рациональных дробей без разложения на простейшие дроби:

.