Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Свойства оригинала и изображения
Оригиналы и изображения имеют следующие свойства. 1. Линейность изображения. Если − оригиналы , то справедливо (30.4) для любых констант 2. Свойство подобия. Если то для любого числа справедливо (30.5) 3. Смещение в области оригинала. Если то для любого верны формулы (30.6) (30.7) З а м е ч а н и е. Для функции f (t) оригинал f (t – а), при является функцией с аргументом, который запаздывает на величину а. Поэтому говорят, что формула (30.6) отражает свойство запаздывания. Аналогично формулу (30.7) рассматривают как свойство опережения. 4. Смещение в области изображения. Если то для любого верна формула (30.8) Сверткой двух функций интегрируемых на бесконечном промежутке , называется функция определяемая равенством (30.9) Если рассматриваются оригиналы f 1 (t) и f 2 (t), то для поэтому формула (30.9) для свертки оригиналов приобретает вид (30.10) Теорема 2. Свертка двух оригиналов является оригиналом. 5. Изображение свертки. Если то верна формула (30.11) Пример 1. Найти изображение функции-оригинала f (t): 1) 2) 3) 4) Решение. Для нахождения изображения оригинала используем свойство линейности, формула (30.4), и найденное в примере 2, параграф 30.1, с. 7 данного пособия, изображение для 1) Согласно формуле которую можно вывести, исходя из формул Эйлера получаем откуда (30.12) 2) Согласно формуле полученной аналогично, приходим к следующему изображению откуда (30.13) 3) Используя определение функции sh t и свойство линейности изображения, получаем т. е. (30.14) 4) На основании определения функции сh t и свойства линейности изображения получаем откуда (30.15)
Пример 2. Найти изображение оригинала f (t): 1) 2) 3) Решение. 1) Используя найденное ранее изображение cos t, формула (30.13), и свойство подобия (30.5), получаем (30.16) 2) Применяя формулу (30.12) и свойство смещения в области оригинала, формула (30.6), получаем 3) Аналогично тому, как найдено изображение для , найдем изображение для формула (30.12): (30.17) Применяя формулу (30.6), получаем
Пример 3. Найти изображение оригинала 1) 2) Решение. 1) Зная, что формула (30.16), и применяя свойство смещения в области изображения, формула (30.8), получаем 2) Зная, что (см. пример 2, параграф 30.1, с. 7 данного пособия), аналогично предыдущему решению находим
Пример 4. Найти изображение оригинала Решение. Функция является ступенчатой (рис. 30.1).
Рис. 30.1
Используя единичную функцию (функцию Хевисайда) (см. пример 2, параграфа 30.1, с. 7 данного пособия), функцию можно записать в виде Как было показано в примере 2, параграф 30.1, с. 7 данного пособия, Тогда согласно свойству линейности изображения, формула (30.4), и в соответствии с формулой (30.6) получаем По формуле суммы элементов бесконечно убывающей геометрической прогрессии приходим к ответу
Пример 5. Найти оригинал если известно, что соответствующее изображение есть: 1) 2) 3) Решение. 1) Преобразуем выражение для следующим образом:
Используя формулы (30.8) и (30.17), получаем
Откуда 2 ) 1-й способ. Как и в предыдущем примере, находим Применяя формулы (30.8) и (30.14), получаем
Таким образом, 2-й способ. Преобразуем следующим образом: Так как (см. пример 2, параграф 30.1, с. 7 данного пособия), то
Согласно формуле (30.11), получаем
3) Запишем изображение в виде произведения: Используя формулы (30.12) и (30.13), имеем
Тогда согласно свойству умножения изображений, формула (30.11), получаем
Таким образом, приходим к соотношению (30.18)
|