Теорема о разложении

При обратном преобразовании Лапласа справедлива следующая теорема.

Теорема 10(формула Меллина или обратное преобразование Лапласа). Если – аналитическая функция в области , равномерно относительно при ,

то является изображением функции

(30.32)

где

Интеграл (30.32) по прямой понимается в смысле главного значения (т. е. как предел интеграла по промежутку () при ).

Используя для вычисления интеграла теорию вычетов, можно придать формуле (30.32) вид

(30.33)

В формуле (30.33) записана сумма вычетов во всех особых точках функции которые лежат слева от прямой (т. е. слева от прямой интегрирования в формуле (30.32)).

При разложении аналитической функции справедлива следующая теорема

Теорема 11(о разложении). Если изображение является аналитической функцией в окрестности точки и разлагается в ряд Лорана

(30.34)

причем то ее оригинал имеет вид

(30.35)

и ряд (30.35) сходится при всех

Пример 1. Найти оригинал для изображения

Решение. Для нахождения оригинала можно воспользоваться формулой (30.33). Особыми точками функции F (p) являются точки причем и - простые полюсы, и - полюсы 2-го порядка. Поскольку все особые точки лежат на мнимой оси, то функция F (p) аналитична на полуплоскости Вычеты в точках и найдем по формуле

(30.36)

Получим

Вычисление вычетов в точках выполним на основе формулы

(30.37)

где a - полюс k -го порядка функции

Получим

Согласно формуле (30.33), получим

Поскольку

(30.38)

то приходим к ответу

Пример 2. Найти оригинал для изображения

Решение. Очевидно, что функция удовлетворяет условиям теоремы 11. Разложив функцию в ряд, используя формулу

получим

Согласно теореме 11, функции соответствует оригинал

Покажем, что этот оригинал выражается через специальную функцию, которая носит название цилиндрической функции. Для этого запишем последний ряд в виде

и, сделав замену переменной получим

Цилиндрическая функция определяется так:

Используя это обозначение, вернемся к переменной и получим

Таким образом, приходим к ответу