Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Обратная матрицаПусть дана квадратная матрица: . Обозначим . Квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если . Квадратная матрица называется обратной для квадратной матрицы того же порядка, если их произведение , где - единичная матрица того же порядка, что и матрицы и . Теорема. Для того чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Матрица, обратная матрице , обозначается через , так что . Обратная матрица вычисляется по формуле , где - алгебраические дополнения элементов . Или Таким образом, обратная матрица – это транспонированная матрица алгебраических дополнений, умноженная на коэффициент . Вычисление обратной матрицы по этой формуле для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице . Если совершенные над матрицей ЭП в том же порядке применить к единичной матрице , то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами и одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Замечание. Отметим, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы. Пример 15. Для матрицы найти обратную ей матрицу. Решение. Находим сначала детерминант матрицы (для этого прибавляем ко второму столбцу первый, а от третьего отнимаем первый, деленный на два): значит, обратная матрица существует, и мы ее можем найти по формуле: , где ‑ алгебраические дополнения элементов исходной матрицы. , , , , , , , ,
Откуда . Пример 16. Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: . Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: . С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей. 1. Поменяем местами первый и второй столбцы: . 2. К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на : . 3. Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на второй; . 4. Прибавим третий столбец к первому и второму: . 5. Умножим последний столбец на : . Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице . Итак, .
|