Разложение определителя матрицы по элементам строки или столбца

Теорема. Определитель каждой матрицы равен сумме произведений элементов любой ее строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т. е. при разложении по элементам строки

Для вычисления значений определителей матриц второго порядка пользуются формулой:

Для вычисления значений определителей матриц третьего порядка можно воспользоваться формулой разложения определителя по первой строке:

Пример 7. Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю.

Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель

, равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель , в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю.

Пример 8. Вычислить определитель , разложив его по элементам второго столбца.

Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца: