Математичний аналіз

1. Аналіз поняття множини. Потужність множини. Зчисленні множини та їх властивості. Множини натуральних N, цілих Z, раціональних Q. та дійсних чисел R, їх потужність.

2. Множина дійсних чисел /R/,її властивості. Поняття верхньої і нижньої граней числової множини, їх існування і властивості. Теорема Кантора.

3. Границя послідовності. Основні теореми про збіжність послідовностей. Границя обмеженої монотонної послідовності. Число е. Границя послідовності в метричному просторі.

4. Поняття функції. Способи задання функцій. Функції n дійсних змінних та комплексної змінної. Поняття функції в школі.

5. Границя функції в точці. Властивості границь. Визначні границі. Границі функцій в метричних просторах та функцій комплексної змінної.

6. Неперервність функції в точці іна відрізку. Неперервність функцій кількох змінних та функцій комплексної змінної. Поняття рівномірної неперервності.

7. Основні теореми про неперервні функції.

8. Розвиток поняття степеня. Степенева функція в дійсній та комплексній області /означення, властивості/. Степенева функція в школі.

9. Показникова функція дійсної та комплексної змінної /означення, властивості/. Показникова функція в школі.

10. Логарифмічна функція дійсної та комплексної змінної /означення, властивості/. Розклад логарифмічної функції в степеневий ряд. Логарифмічна функція в школі.

11. Тригонометричні функції дійсної та комплексної змінної /означення, властивості/. Тригонометричні функції в школі.

12. Поняття похідної для функцій однієї і кількох змінних; геометричний та механічний зміст похідної. Похідні основних елементарних функцій, правила диференціювання.

13. Похідна функції комплексної змінної. Умови диференційовності. Аналітичні функції.

14. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коші. Умови сталості та монотонності функцій на проміжку.

15. Екстремуми функції. Опуклість і точки перегину. Асимптоти.

16. Первісна та її властивості, невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування.

17. Визначений інтеграл та умови його існування. Формула Ньютона-Лейбніца, вивчення інтеграла в школі.

18. Поняття криволінійного інтеграла для функцій дійсних змінних.

19. Поняття метричного простору. Повні метричні простори.

20. Теорема Банаха про стискуючі відображення та її застосування.

21. Числові ряди з дійсними та комплексними членами, основні поняття. Необхідна умова збіжності. Геометрична прогресія та гармонічний ряд. Властивості збіжних рядів.

22. Ознаки збіжності рядів з додатними членами. Ряди з довільними членами, їх абсолютна та умовна збіжність, властивості.

23. Степеневі ряди з дійсними та комплексними членами. Абсолютна збіжність. Інтервал /круг/ та радіус збіжності.

24. Формула Тейлора та ряд Тейлора. Біноміальний ряд.

25. Застосування інтегрального числення до розв'язування задач геометрії і фізики.

26. Обернені тригонометричні функції дійсної та комплексної змінної /означення, властивості/.

27. Основні поняття теорії диференціальних рівнянь: порядок, розв'язок, загальний розв'язок, інтегральна крива, початкові умови, задача Коші.

28. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними, лінійні рівняння та рівняння, що зводяться до них.

29. Однорідні диференціальні рівняння та рівняння в повних диференціалах

30. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків із сталими коефіцієнтами та їх застосування до вивчення коливних процесів.