Диференціальні рівняння

П Р О Г Р А М А

державного іспиту для студентів 5 курсу механіко-математичного факультету (спеціальність „ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА”)

Навчальний рік

Лінійна алгебра

1. Визначення групи, підгрупи. Теорема Лагранжа.

2. Лінійні оператори в скінченновимірних просторах, їх матриці, власні значення та власні вектори.

3. Самоспряжені оператори в скінченновимірних просторах та їх квадратичні форми. Зведення до діагонального вигляду.

4. Системи лінійних рівнянь. Теореми Крамера і Кронекера-Капеллі. Точні методи розв’язання систем лінійних рівнянь (один на вибір).

Математичний аналіз

1. Діференційованість функції декількох змінних. Теорія екстремумов.

2. Функціональні ряди. Рівномірна збіжність. Властивості сум функціональних рядів.

3. Інтеграли (Римана і невласний), залежні від параметра, їх властивості і спосіб обчислення.

4. Зв’язки між подвійними і криволінійним, поверхневим і криволінійним, потрійним і поверхневим інтегралами.

5. Ряд Фур’є. Властивості. Питання збіжності.

Диференціальна геометрія

1. Регулярні криві. Кривизна і скрут регулярної кривої в . Формули Френе.

2. Перша квадратична форма регулярної поверхні. Изометрія. Критерій ізометричності.

3. Друга квадратична форма регулярної поверхні Головні кривини і головні напрями регулярної поверхні. Гаусова і середня кривина поверхні.

Лінії кривини, асімтотичні і геодезичні лінії на поверхні.

Диференціальні рівняння

1. Теореми існування та єдиності розв’язку задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь.

2. Лінійні диференціальні рівняння та системи рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

3. Стійкість за Ляпуновим розв’язків систем звичайних диференціальних рівнянь.