Метод Лагранжа-Эйлера

Полное описание движения манипулятора можно получить, применяя метод Лагранжа-Эйлера для неконсервативных систем. Описав кинематику манипулятора с помощью матричного представления Денавита-Хартенберга, можно получить уравнение динамики. Такое совместное использование Д-Х-представления и метода Лагранжа приводит к компактной векторно-математической форме уравнений движения, удобной для аналитического исследования и допускающей реализацию на ЭВМ.

Вывод уравнений динамики движения манипулятора основан на следующем:

1. На описании взаимного пространственного расположения систем координат i -го и (i -1)-го звеньев с помощью матрицы преобразования однородных координат . Эта матрица преобразует координаты произвольной точки относительно i -й системы координаты этой же точки относительно (i -1)-й системы координат.

2. На использовании уравнения Лагранжа-Эйлера:

; , (9-9)

где L -функция Лагранжа (L = K-P);

K -полная кинетическая энергии манипулятора;

P -полная потенциальна энергия манипулятора

-обобщённые координаты манипулятора;

- первая производная по времени обобщённых координат;

-обобщённые силы (или моменты), создаваемые в i -м сочленении для реализации заданного движения i -го звена.

Для того, чтобы воспользоваться уравнением Лагранжа-Эйлера, необходимо выбрать систему обобщённых координат. Обобщённые координаты представляют собой набор координат, обеспечивающий, полное описание положения рассматриваемой физической системы в абсолютной системе координат. Существуют различные системы обобщенных координат, пригодные для описания простого манипулятора с вращательными и поступательными сочленениями. Однако, поскольку углы поворотов в сочленениях непосредственно доступны измерению с помощью потенциометров или других датчиков, то они составляют наиболее естественную систему обобщенных координат. В этом случае обобщённые координаты совпадают с присоединенными переменными манипулятора. В частности, если i -е сочленение вращательное, то , если же i -е сочленение поступательное, то .