Анализ статистических данных с помощью

функции «Регрессия»

При необходимости выполнить более полный и точный расчет, включая вычисление остатков, стандартных ошибок, дисперсионный анализ и др. можно использовать функцию «Регрессия». Эта функция анализирует отношения переменных, связанных линейной зависимостью: Y=а+bX. Функция «Регрессия» входит в пакет «Анализ данных». Если же на Вашем компьютере пункт «Анализ данных» в меню «Сервис» отсутствует, то в меню «Сервис» - «Надстройки» выделите пункт «Пакет анализа» и щелкните ОК. После этого будет выполнена загрузка пакета из дистрибутива и подключение его к MS Excel.

Следуйте следующим инструкциям по использованию инструмента анализа «Регрессия»:

Расположите данные на листе MS Excel, как и ранее, по столбцам: переменная X слева, переменная Y справа. Освободите место для результатов регрессионного анализа справа от данных, по крайней мере, 16 столбцов.

Выберите функцию «Регрессия» и нажмите ОК. Появится диалоговое окно (рис. 1.3), в которое введите ссылки на интервалы значений Y и X. Если в диапазон включаются заголовки столбцов, то отметить пункт «Метки».

Опция «Константа – ноль» включается для прохождения линии регрессии через начало координат.

Рис. 1.3

3. «Выходной интервал» - область, где будут располагаться итоговые результаты и диаграммы. В этом поле достаточно ввести ссылку на левый верхний угол области шириной в 16 столбцов.

Флажок «Остатки» устанавливается, если требуется включить столбцы с предсказанными значениями Y и остатками. Остатки – это разница между статистическими данными и предсказанными.

Флажки: «График остатков» - выводятся точечные графики зависимости остатков от значений X_i; «График подбора» для вывода точечных графиков теоретических и статистических значений Y_i; «График нормальной вероятности» (график вероятности нормального распределения) – зависимость Y_i от автоматически фор­мируемых интервалов персентелей¹.

Ниже приведены примеры использования функции «Регрессия» для линейной и нелинейной зависимости исходных данных.

Результаты анализа для линейной зависимости представлены на рис. 1.4, где:

· Множественный R — коэффициент корреляции R;

· R-квадрат — коэффициент детерминации R²;

· Нормированный R - квадрат — нормированное значение коэффициента детерминации ²;

· Стандартная ошибка - стандартная ошибка оценки ³ ;

· Наблюдения — это число исходных наблюдений (n).

Результаты дисперсионного⁴ анализа используются для проверки значимости коэффициента детерминации.

-------------------------------------

¹ Это характеристика набора данных, которые выражают ранги (значения) пунктов шкалы данных в виде процентов (от 0 до 100%), а не в виде чисел от 1 до n. В нашем случае в виде персентелей представляются значения X_i.

² Нормированный R-квадрат – скорректированный (адаптированный, поправленный) коэффициент детерминации.

где n – число наблюдений, m - количество факторных признаков.

³ Стандартная ошибка = , определение MS – приведено ниже.

Для регрессионного уравнения в целом она выступает как степень точности прогнозов, которые базируются на уравнении. Стандартная ошибка — это мера ошибки предсказанного значения Y для отдельного значения X.

⁴ Дисперсия - мера рассеивания (отклонения от среднего) - средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от его средней величины. Дисперсия фактических значений результативного признака от вычисленных по уравнению определяется как

s ² = å (Yi—Y(Xі))²/n, где: Yi -действительно наблюдаемые значения,

Y(Xі) - значения из уравнения регрессии, n-количество наблюдений.

Здесь:

· df - число степеней свободы. Для строки «Регрессия» – число переменных (количество факторных признаков – m).

· SS - сумма квадратов отклонений. Для строки «Регрессия» - сумма квадратов отклонений теоретических данных от среднего (å (Yi—Y(Xі))² ), для строки «Остаток» - сумма квадратов отклонений эмпирических данных от теоретических, для строки «Итого» это сумма квадратов отклонений эмпирических данных от среднего.

· MS содержит значения дисперсии, которые рассчитываются по формуле MS=SS/df. Для строки Регрессия дисперсия называется факторной, для строки Остаток – остаточной.

· F – расчетное значение критерия Фишера. Вычисляется по формуле: F = MS(регрессия)/MS(остатки)

· Коэффициенты – это значения коэффициентов уравнения регрессии.

· Стандартная ошибка - стандартная ошибка коэффициентов уравнения регрессии.

· t – статистика - критерии вычисляемые как =коэффициет/стандартная ошибка.

· Нижние 95% и верхние 95% - границы доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.

· В полученной таблице «Вывод остатка» «предсказанная цена» – данные в соответствии с уравнением регрессии, «остатки» – разница между статистическими и теоретическими данными.

Рис. 1.4