Метод малого параметра. Нелiнiйна механiчна система називається автономною, якщо її рух описується диференцiальним рiвнянням

Нелiнiйна механiчна система називається автономною, якщо її рух описується диференцiальним рiвнянням, яке явно не залежить вiд часу. Наприклад:

+k ² x = μf (x, ), (6.22)

де μ - деякий параметр, f (x, ) - неперервна нелiнiйна диференцiйована функцiя.

Знайдемо перiодичний розв’язок рiвняння (6.22) в припущеннi, що параметр μ є малою величиною, а функцiя f (x, ) залежить тiльки вiд х. Використаємо метод розкладання в ряд по степенях малого параметра μ i запишемо шуканий розв’язок у виглядi:

x = x ₀ +μx ₁ +μx ₂ +…, (6.23)

де x ₀, x ₁, x ₂ - невiдомi перiодичнi функцiї колової частоти р i частот, кратних р, якi треба знайти. Розкладемо квадрат колової частоти р ² по степенях малого параметра μ:

p ² = k ² +α ₁ μ+ α ₂ μ ² +…, (6.24)

де α ₁ i α ₂ - постiйнi коефiцiєнти.

При розв’язуваннi задач методом малого параметра потрiбно дотримуватись такої послiдовностi:

1) скласти диференцiальне рiвняння руху у виглядi

+k ² x- μf (x) = 0; (6.25)

2) за допомогою формул (6.23) i (6.25) записати шуканий закон руху х i квадрат невiдомої колової частоти р в розкладаннi по степенях малого параметра μ;

3) за допомогою формули (6.23) знайти i ;

4) пiдставити значення х, i та

k ² = p ² - α ₁ μ- α ₂ μ ² -...

в формулу (6.25). В результатi пiдстановок одержимо диференцiальне рiвняння з членами, якi утримують рiзнi степенi малого параметра μ, а також з членами без μ;

5) зiбрати в диференцiальному рiвняннi, одержаному в пунктi 4, члени, утримуючi степенi малого параметра μ:

А ₀ +μА ₁ +μ ² А ₂ +... = 0;

6) прирiвняти до нуля коефiцiєнти, якi стоять при рiзних степенях малого параметра μ. В результатi одержимо систему диференцiальних рiвнянь

₀ +р ² х ₀ = 0;

₁ +р ² х ₁ = F ₁(α ₁, х ₀); (6.26)

₂+ p ² x ₂ = F ₂(α ₁, α ₂, х ₀, х ₁) i т. д.;

7) записати початковi умови руху для диференцiальних рiвнянь, одержаних в пунктi 6. Наприклад, якщо за умовою при t ₀ = 0 ми маємо х (0) = а, (0) = 0, то на основi формул для i пункту 3 одержимо при t ₀ = 0

х ₀(0) = а, х ₁(0) = 0, х ₂(0) = 0, ...

₀(0) = 0, ₁(0) = 0, ₂(0) = 0, ...;

8) скориставшись початковими умовами, записаними в пунктi 7, потрiбно проiнтегрувати диференцiальне рiвняння ₀ +р ² х ₀ = 0 i знайти x ₀(t);

9) внести одержаний вираз для x ₀(t) в диференцiальне рiвняння

₁ +р ² х ₁ = F ₁(α ₁, х ₀),

яке пiсля тригонометричних перетворень записується у виглядi:

₁ +р ² х ₁ = M ₁cos(pt) +N ₁cos(3 t) +…. (6.27)

Для того, щоб x ₁ з часом не зростало до нескiнченностi, треба покласти М ₁ = 0. З рiвняння М ₁ = 0 визначити α ₁;

10) скориставшись початковими умовами руху пункта 7, потрiбно проiнтегрувати диференцiальне рiвняння

₁ +р ² х ₁ = N ₁cos(3 t)+ …

i визначити x ₁(t);

11) пiдставити значення x ₀(t), α ₁ i x ₁(t) в диференцiальне рiвняння

₂ +p ² x ₂ = F ₂(α ₁, α ₂, х ₀, х ₁).

Повторивши викладки пунктiв 9 i 10, визначити α ₂ i x ₂(t);

12) визначити x (t) i р ².

При розв’язуваннi задач ряди слiд обiрвати на членах, якi утримують μ i μ ².

Зауваження. Для закріплення матеріалу §6 необхідно розв’язати задачі зі збірника “Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М., Наука, 1981 (1986)”:

1) № 57.3, 57.4;

2) № 57.1, 57.2, 57.5, 57.9;

3) № 57.11, 57.12.

§7. Диференцiальнi рiвняння руху невiльної матерiальної точки