Вимушенi коливання матерiальної точки при наявностi опору

Вимушенi коливання при наявностi опору - це коливання точки пiд дiєю вiдновлюючої сили, пропорцiональної змiщенню точки вiд положення рiвноваги, F=-сх, сили опору, пропорцiональної швидкостi, R =- =-m i вимушуючої сили, перiодичної в часi, Q = H sin(pt+δ) (рис. 5.2), де

Н - амплiтуда вимушуючої сили, Н;

(pt+δ) - фаза змiни вимушуючої сили, радiан;

δ - початкова фаза змiни вимушуючої сили, радiан;

τ = 2 π/р - перiод змiни вимушуючої сили, с.

Рiвняння вимушених коливань буде таким:

m =- cx- μ +H sin(pt+δ)

або

+ = h sin(pt+δ), (5.22)

де n = μ/ (2 m); ω ₀² = c/m; h = H/m.

Загальний розв’язок рiвняння (5.22) складається з загального розв’язку рiвняння (5.10) i частинного розв’язку рiвняння (5.22):

x ₂ = A_c sin(pt+δ - ε), (5.23)

де

(5.24)

Загальний розв’язок рiвняння (5.22) в залежностi вiд спiввiдношення величин ω ₀ i n буде таким:

а) при n<ω ₀

; (5.25)

б) при n>ω ₀

; (5.26)

в) при n = ω ₀

(5.27)

Величини a, ω ₀, C ₁ i C ₂ є сталими інтегрування, їх обчислюють з початкових умов.

При t →∞ перший доданок в формулах стає рiвним нулю, результуючий рух матерiальної точки складається тiльки з вимушених коливань:

. (5.28)

Розглянемо залежнiсть амплiтуди вимушених коливань вiд частоти вимушуючої сили за формулою (5.24).

При фiксованiй амплiтудi Н вимушуючої сили i сталих m, n, ω ₀ амплiтуда А_с вимушених коливань максимальна для частоти вимушуючої сили, яка дорівнює:

(5.29)

Для великих значень р амплiтуда А_с мала: lim A_с = 0 при р →∞. Коливанню з меншим опором вiдповiдає менший параметр n i бiльше значення максимальної величини амплiтуди A_{с max}; абсциса точки, в якiй амплiтуда досягає максимального значення бiльша (при n →0 р _max→ ω ₀ i А_{с max}→∞).

Кривi залежностi амплiтуди А_c вiд частоти р зображено на рис. 5. 3.

Частота i перiод вимушених коливань матерiальної точки при наявностi опору руховi дорiвнюють частотi р i перiоду змiни τ вимушуючої сили.

Рiзниця фаз вимушених коливань i вимушуючої сили дорiвнює ε i визначається формулою

ε - в радiанах.

Рис. 5. 3.