Задачи для самостоятельного решения. Задача 1.Применяя принцип возможных перемещений, определить реакции связей составных конструкций

Задача 1. Применяя принцип возможных перемещений, определить реакции связей составных конструкций. Схемы конструкций показаны на рис. 15, а необходимые для решения данные приведены в табл. 1. На рисунках все размеры указаны в метрах.

Таблица 1

Вариант 1 Вариант 2

Вариант 3 Вариант 4

Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8

Вариант 9 Вариант 10

Вариант 11 Вариант 12

Вариант 13 Вариант 14

Вариант 15 Вариант 16

Вариант 17 Вариант 18

Вариант 19 Вариант 20

Вариант 21 Вариант 22

Вариант 23 Вариант 24

Вариант 25 Вариант 26

Вариант 27 Вариант 28

Вариант 27 Вариант 28

Рис. 15

Пример 8. Дана двухсоставная рама, части которой соединены шарниром в точке С (рис. 16), закрепленная в точках А и В с помощью неподвижных шарнирных опор. В точке D на раму CDB действует сила P ₁=10 кН, на раму АЕС действуют на участке ЕС распределенная по линейному закону нагрузка с максимальной интенсивностью q = 4 кН/м и пара сил с моментом m ₁ = 5 кНм (см. рис. 16). Определить горизонтальную составляющую реакции шарнирной опоры А. Трение в шарнирах отсутствует. Размеры элементов рам на рис. 16 даны в метрах.

Рис.16 Рис.17

Решение. Легко проверить, что в данной задаче все условия применения принципа Лагранжа выполнены (система находится в равновесии, связи являются стационарными, голономными, удерживающими и идеальными).

Освободимся от связи, соответствующей реакции X _A (рис. 17). Для этого в точке A неподвижный шарнир следует заменить, например, стержневой опорой, при этом система получает одну степень свободы. Как уже отмечалось, возможное перемещение системы определяется связями, наложенными на нее, и не зависит от приложенных сил. Поэтому определение возможных перемещений является кинематической задачей. Поскольку в данном примере рама может двигаться лишь в плоскости рисунка, то и возможные ее движения являются плоскими. При плоском же движении перемещение тела можно рассматривать как поворот вокруг мгновенного центра скоростей. Если же мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности, то это соответствует случаю мгновенно поступательного движения, когда перемещения всех точек тела одинаковы.

Для нахождения мгновенного центра скоростей необходимо знать направления скоростей двух каких-либо точек тела. Поэтому определение возможных перемещений составной конструкции следует начинать с нахождения возможных перемещений того элемента, у которого такие скорости известны. В данном случае следует начать с рамы CDB, поскольку ее точка В неподвижна и, следовательно, возможным перемещением этой рамы является ее поворот на угол вокруг оси, проходящей через шарнир B. Теперь, зная возможное перемещение точки С (она одновременно принадлежит обеим рамам системы) и возможное перемещение точки А (возможным перемещением точки A является ее перемещение вдоль оси х), находим мгновенный центр скоростей C₁ рамы АЕС. Таким образом, возможным перемещением рамы АЕС является ее поворот вокруг точки C₁ на угол . Связь между углами и определяется через перемещение точки C (см. рис. 17)

Из подобия треугольников EC₁C и BCD имеем

В результате получим зависимости:

Согласно принципу возможных перемещений

Последовательно вычислим входящие сюда возможные работы:

Q=2q – равнодействующая распределенной нагрузки, точка приложения которой показана на рис. 79; совершаемая ею возможная работа равна:

Далее и

Следовательно,

Отсюда