Свертка

Измеренная интенсивность выражается через интенсивность спекл-картины как свертка с функцией, описывающей форму приемной апертуры

Рассмотрим достаточно распространенный случай – дифракция на объекте типа щелевое отверстие. Распределение интенсивности в плоскости фотоприемника

Световой поток, падающий на фотоприемник в каждый момент времени, с точностью до постоянного множителя

где x0 – координата середины сканирующей щелевой диафрагмы; b – ширина щели; b = kπ (см. рис. 3.9).

где Si – интегральный синус.

Анализ данного выражения показывает, что с увеличением отношения b/π величина светового потока растет и, следовательно, растет амплитуда электрического сигнала.

измеренная контрастность полос

18.Корреляция Корреляционный анализ наряду со спектральным играет большую роль в теории сигналов. В настоящее время корреляция является наиболее широко распространенным методом обработки различных сигналов и данных (оптических и других). При всех своих различных проявлениях корреляция, по существу, является методом оценки взаимных связей, имеющих форму подобий или совпадений. Таким образом, процесс корреляции сводится к сравнению (сопоставлению) двух картин или процессов.

Сопоставление картин, сигналов или процессов можно произвести используя понятие корреляционной функции. Корреляционная функция (англ. – correlation function) детерминированного сигнала с конечной энергией представляет собой интеграл (в бесконечных пределах) от произведения двух копий сигналов, сдвинутых друг относительно друга на время τ:

Корреляционная функция показывает степень сходства между сигналом и его сдвинутой копией – чем больше значение корреляционной функции, тем это сходство сильнее. Поскольку здесь функция s(t) сравнивается сама с собой, ее называют автокорреляционной функцией.

Корреляционная функция обладает следующими свойствами:

1. Значение корреляционной функции при τ = 0 равно энергии сигнала, то есть интегралу от его квадрата:

.

2. Корреляционная функция является четной функцией аргумента τ:

3. При τ = 0 корреляционная функция принимает максимальное значение:

4. С ростом абсолютного значения τ корреляционная функция сигнала с конечной энергией затухает:

Поясним физический смысл автокорреляционной функции на примере сигнала в виде одиночного прямоугольного импульса.

Рис. 3.3. Физическая интерпретация автокорреляционной функции

19.Примеры практического применения. Примеры практического применения Плоскопараллельная пластинка L освещается пучком параллельных лучей.

Поверхность AB пластинки - диффузно отражающая, а ее задняя поверхность - зеркальная.

Рис. 8.17. Интерференция на бесконечности лучей, рассеянных в точке I

Рассмотрим ход лучей по двум разным оптическим путям (рис. 8.17).

1) Падающий луч SI нормально входит в толщу пластинки в точке I, идет вдоль пути IHI и в той же точке I диффузно рассеивается во всех направлениях.

Рассмотрим, например, направление IM', составляющее угол θ с нормалью к пластинке.

2) Падающий луч SI в точке I диффузно рассеивается во всех направлениях.

Рассмотрим, например, направление IJ, такое, что луч, распространяющийся вдоль него, испытывает в точке J зеркальное отражение и далее из точки K идет в направлении KK', параллельном MM'.

Диффузное рассеяние света, обусловленное частицами шероховатой поверхности, приводит к беспорядочному изменению фаз падающих лучей. Два луча, диффузно рассеянных поверхностью AB, могут интерферировать даже в случае, если они рассеиваются двумя разными точками поверхности. При переходе от одной пары лучей к другой разность фаз меняется беспорядочно и для всего светового пучка интерференционная картина будет отсутствовать. Но h n - показатель преломления для лучей, диффузно рассеянных одной и той же точкой, это не так: два луча, такие как рассеянные одной и той же точкой I поверхности AB, способны интерферировать. Это справедливо для любой точки поверхности AB и, следовательно, для всей совокупности лучей светового пучка.

Вычислим разность хода Δ между двумя рассмотренными выше лучами

n - показатель преломления пластинки L. Если углы θ и φ малы, то

Лучи SIHIM' и SIJKK' на выходе из пластинки L идут в параллельных направлениях и интерферируют на бесконечности.

Интерференционные полосы можно наблюдать в следующей оптической схеме (рис. 8.18).

Рис. 8.18. Образование интерференционных колец в плоскости экрана Е

В фокальной плоскости линзы O помещен экран E, в котором имеется малое отверстие T, через которое проходит узкий пучок излучения. Падающий луч SI испытывает диффузное рассеяние в точке I либо до, либо после отражения на задней поверхности пластинки L. Интерферировать будут лучи IHIM' и IJKK', испытавшие диффузное рассеяние в одной и той же точке I поверхности AB. Выйдя из пластинки, эти два луча распространяются в параллельных направлениях KK' и IM' и интерферируют в точке P фокальной плоскости линзы O. Их разность хода определяется выражениями, аналогичными предыдущему случаю. Интенсивность в точке P, обусловленная интерференцией этих лучей, дается классической формулой Френеля. Полагая, что амплитуды одинаковы, получим для интенсивности

Для другой точки I' поверхности AB фаза интерферирующих волн будет иной, поскольку фазы волн, диффузно рассеиваемых разными точками поверхности AB, изменяется беспорядочно. В силу симметрии, рассматриваемой схемы и диффузного характера рассеяния падающего излучения на окружности, соответствующей точке P, интенсивность излучения будет одинакова. Следовательно, интерференционная картина будет иметь круговую симметрию, и представлять систему колец (рис. 8.19).

Рис. 8.19. Распределение интенсивности в интерференционных кольцах (сечение)

В направлении θ, т.е. в точке P фокальной плоскости E линзы O, будет наблюдаться светлое кольцо, если

Угловой радиус первого светлого кольца будет (p=1)

В случае стеклянной пластинки толщиной 0,5 мм с показателем преломления n = 1,5 первое светлое кольцо имеет угловой диаметр 2θ, в 8 раз превышающий угловой диаметр Солнца (при фокусном расстоянии 50 мм диаметр первого светлого кольца равен 4,35 мм; λ = 0,63 мкм; θ = 0,043).

Существуют различия между этими кольцами и кольцами, наблюдаемыми в интерферометре Майкельсона, локализованными на бесконечности. Для колец, возникающих в диффузном свете, порядок интерференции в центре (θ = 0) всегда равен нулю независимо от толщины h пластинки, т.е. яркое светлое пятно будет совпадать с отверстием T.

На рис. 8.19 представлена кривая зависимости интенсивности I от угла θ.

Толщина диффузной пластинки h влияет только на диаметр колец. В интерферометре же Майкельсона интенсивность в центре зависит от "толщины" пластинки, и поэтому в белом свете кольца кажутся окрашенными и наблюдается только при условии, что разность хода Δ очень мала.

Кольца же, наблюдаемые в при диффузном рассеянии, всегда видимы и в белом свете, независимо от толщины h. В центре этих колец всегда располагается светлое пятно.

20. Радиус корреляции лазерного излучения Модуль степени пространственной когерентности является квазипериодической функцией. В реальных случаях база резонатора L много больше характерного размера зеркал a (L >> a), а число Френеля (ka² / 2πL) ≥1.

С учетом этого условия, радиус корреляции r_k ≈ a / N_⊥.

Таким образом, для многомодовых лазерных пучков, возбуждаемых в плоскопараллельном резонаторе с прямоугольными зеркалами радиус корреляции обратно пропорционален числу возбуждаемых поперечных мод N_⊥.

Но это соотношение можно использовать лишь для грубых оценок. Отличия от эксперимента могут быть связаны с неоднородностями активной среды, неравномерностью распределения интенсивностей по модам.

Приближенный расчет радиуса корреляции лазерного поля со статистически независимыми модами можно выполнить и другим способом - оценивая средний размер неоднородности по возбуждаемым модам, который в соответствии с выражением для распределения амплитуды моды по половинному уровню можно оценить как rm ≈ 2a ⁄ m.

Для плоского резонатора получим r_k ≈ 2a ln N_⊥/N_⊥.

Таким образом, данное выражение, которое получается исходя из поперечной неоднородности лазерного пучка, дает практически такую же зависимость, что и предыдущее.

При наличии неоднородностей внутри резонатора даже для плоскопараллельного резонатора более адекватной оказывается модель сферического резонатора.

Аналогичным способом, исходя из масштаба радиальных неоднородностей можно найти радиус корреляции для сферического резонатора

Рис. 7.3. Распределения интенсивности в поперечном сечении для сферического резонатора с радиусом зеркала а

Последнее выражение существенно отличается от выражения, полученного для плоского резонатора, т.к. в последнем случае с увеличением номера радиального индекса поперечной моды n размер поперечных осцилляций становится обратно пропорциональным , где n радиальный индекс полинома Лагерра, определяющий число радиальных осцилляций в моде сферического резонатора. То есть радиус корреляции уменьшается значительно медленней (скорость спада функции когерентности меньше).

Рис. 7.4. Зависимость радиуса поперечной корреляции от формы резонатора

Зависимость радиуса корреляции от числа поперечных мод хорошо подтверждается экспериментально. С увеличением числа поперечных мод вид функции когерентности стремится к виду функции когерентности для некогерентного источника, что согласуется с теоремой Ван Циттерта-Цернике.

Радиус корреляции лазерного пучка, как и ширина пучка, является функцией продольной координаты z. Измерения показали, что для многомодового режима при удалении от выходного зеркала отношение диаметра пучка к радиусу корреляции сохраняется постоянным: D(z)/r_к = const., что следует из характера изменения масштаба неоднородностей поля при распространении лазерного пучка. Оно пропорционально π_r /m.

Поведение пространственной корреляционной функции излучения многомодового лазера, с изменением числа генерируемых поперечных мод, хорошо согласуется с представлениями, основанными на описании поперечного распределения лазерного поля, как результата наложения статистически независимых поперечных мод. Для точного расчета формы поперечных корреляционных функций необходимо располагать информацией об амплитудах мод, возбуждаемых в лазере.

Следует отметить, что при большом числе поперечных мод, корреляционная функция поля близка по виду к корреляционной функции однородного δ коррелированного шума, профильтрованного через круглую диафрагму (теорема Ван Циттерта-Цернике).

Измерение функции когерентности при разных смещениях относительно центра пучка, показывает, что при многомодовом режиме работы минимальный радиус корреляции оказывается в центре лазерного пучка. При смещении к периферии пучка радиус корреляции растет (рис. 7.6). Этот факт объясняется неравномерной однородностью пучка по поперечному сечению. Наглядно это можно увидеть, если нарисовать суперпозицию мод в лазерном пучке. В центре пучка присутствуют все моды - максимальная неоднородность; к периферии визуально степень неоднородности уменьшается.