Трансляционная симметрия дифракционной картины

При дифракции на щели, дифракционное распределение интенсивности, соответствующее в математике квадрату Фурье-преобразования от прямоугольного импульса, с точностью до постоянного множителя описывается выражением

Щелевое отверстие имеет одну плоскость симметрии. Распределение интенсивности в ДК

от щелевого отверстия представляет произведение квадрата функции синуса на

функцию, определяющую скорость спада интенсивности в ДК. Так как функция синуса уже является периодической, то получению трансляции спектра в ДК нам “мешает” только

затухание дифракционного спектра и различие линейных размеров центрального дифракционного лепестка и боковых.

Дифракционные волны, возникающие при дифракции на плоских апертурах, в соответствии с ГТД порождаются или гладкими участками контура или точками излома (угловыми точками) контура. Угловые точки контура излучают сферические волны, существующие на всей плоскости ДК, а краевые дифракционные волны, как правило, имеют ограниченную область существования. Исключением можно считать тороидальную волну, излучаемую апертурой круглой или

эллиптической формы. В соответствии с ГТД линии структуры в этом случае образуются в результате интерференции двух точечных “скользящих” по окружности источников. Линии минимумов ДК апертур круглой или эллиптической формы представляют систему концентрических колец круглой или эллиптической формы (рис. 2.11). Такая система концентрических окружностей и эллипсов обладает трансляционной симметрией подобия.

Учитывая механизм построения плоской сетки сетчатого орнамента, а также области существования дифракционных волн, для наблюдения трансляционной симметрии в ДК наиболее подходит модель попарной интерференции излучения точечных источников. В случае круглого отверстия таких источников всего два. В силу осевой симметрии бесконечного порядка они образуют систему концентрических окружностей. Для многоугольного контура число таких источников уже больше двух и они являются фиксированными.

Минимальное число таких источников для прямоугольной апертуры – четыре.

Распределение интенсивности в интерференционной картине двух фиксированных точечных источников представляет систему эквидистантных полос. Пересечение систем полос должно образовать сетчатый орнамент.

Трансляционная симметрия дифракционной картины от совокупности прямоугольных элементов. Преобразование ДК путем ее умножения на функцию, обратную затуханию, приводит к появлению трансляционной симметрии, и мы получаем бордюр с одной осью переносов и периодом трансляции, равным π. В радиотехнике такому преобразованию частотного спектра соответствует операция дифференцирования исходного сигнала. Это

преобразование используется и при оптической обработке информации. На практике такое преобразование можно выполнить, используя различные пространственные фильтры.

Распределение интенсивности от прямоугольного отверстия со сторонами 2a и 2b с точностью до постоянного множителя имеет вид

Преобразовав спектр прямоугольного отверстия

аналогичным образом, т.е. умножив его на получим распределение интенсивности,

соответствующее плоской сетке (рис. 2.12).

Элементом трансляции здесь является прямоугольный участок ДК со сторонами π/a, π/b.

С точки зрения ГТД ДК прямоугольного отверстия формируется краевыми волнами и излучением из угловых точек и состоит из двух основных характерных областей – области интерференции краевых волн и области интерференции точечных источников, соответствующих излучению из угловых точек контура. Причем эти области сильно различаются по интенсивности. Интенсивность в области ДК, соответствующей излучению угловых точек, спадает очень быстро (1/x2y2), а область краевых волн – (1/xy). ДК от многоугольной апертуры имеет такой же характер, как и от прямоугольной апертуры, но только в том случае, если ее можно представить в виде совокупности параллелограммных апертур.

Процесс формирования дифракционного поля многоугольной апертуры можно представить несколькими способами: как дифракционное поле, создаваемое точечными источниками, расположенными в пределах всей апертуры; как дифракционное поле, образованное суммой излучения граней; как дифракционное поле, образованное суммой излучения вершин

многоугольника. касается симметрии трансляционной, то, согласно ГТД, она

возникает в зонах влияния волнугловых точек.

15.Свертка Всякая физическая величина характеризуется совокупностью производимых ею функций. Такими эффектами могут быть отклики приборов на воздействие, оказываемое рассматриваемой функцией на входе. Поэтому описание физической величины распределением значений, приписываемых ее пробным функциям из основного пространства, представляется естественным, если эти функции можно отождествить с аппаратными функциями приборов. Это относится и к электромагнитному полю. Описание поля и его источников обобщенными функциями упрощает решение краевых задач оптики, связанных с дифракцией волн на поверхностных неоднородностях. Существуют две возможности использования функционалов в практических применениях теории систем – для описания самой системы и для описания действующего на систему объекта. В качестве последнего может выступать, например, электромагнитное поле. Обе эти возможности используются в физике и технике, а также в метрологии, в частности при установлении соответствия между понятием меры физических объектов, таких как процессы и поля, и общим математическим понятием меры как вполне аддитивной неотрицательной функции множеств.

В оптике свертка – это операция, которая производится измерительными приборами и в результате которой получается размытое (неясное) изображение изучаемого объекта. Изображение точки в любом оптическом приборе никогда не бывает точкой, а представляет собой пятно. Размеры этого пятна определяются качеством прибора. В оптическом приборе изображения двух различных точек будут разделены только при условии, что расстояние между точками превышает некоторую минимальную величину, определяющую возможность разрешения.

Понятие свертки и разрешающей способности можно найти в любой области науки и техники. В радиоэлектронике при поступлении на вход амплитудного анализатора импульса бесконечно малой продолжительности на выходе анализатора наблюдается сигнал конечной ненулевой продолжительности (длительность выходного сигнала определяется шириной полосы пропускания прибора). Аналогичное явление происходит в оптике, когда изображение считывается каким либо фотоэлектрическим преобразователем. Считанное изображение всегда будет отличаться от исходного из-за конечного размера апертуры фотоэлектрического преобразователя. Т.е. происходит свертка распределения интенсивности в изображении с функцией, описывающей форму приемной апертуры фотоэлектрического преобразователя.

Рис. 3.2 Физическая интерпретация свертки

Сигнал на выходе, соответствующий импульсу бесконечно малой продолжительности на входе, называется импульсным откликом. Поэтому любой входной сигнал изменяет свою форму на выходе. Зная импульсный отклик g(x) системы, предполагаемой линейной и стационарной во времени (в этом случае применима теорема сложения сигналов), можно ли по входному сигналу f(x) рассчитать выходной сигнал S(x)? Решение этой задачи осуществляется с помощью свертки.

Рисунок 3.2 иллюстрирует фактическое содержание операции свертки. Входной сигнал f(x) показан на рис. 3.2. а, а импульсный отклик g(x) – на рис. 3.2. б. Для нахождения графика g(x-y), как функции переменной y, необходимо зеркально отобразить график функции g(y) относительно оси ординат, сместить его параллельно оси абсцисс на величину x, произвести поточечное умножение f(y)⋅g(x-y) и проинтегрировать произведение.

Полученное значение интеграла равно значению свертки при аргументе y.

Импульсный отклик g(x) отличен от нуля только на ограниченном промежутке (θ1 θ2,). Уравнение свертки имеет вид:

Для операции свертывания функций роль единичного элемента играет дельта-функция Дирака δ (x).

16.Теорема Ван Циттерта-Цернике. Эта теорема является одной из наиболее важных теорем современной оптики. Она позволяет найти взаимную интенсивность и комплексную степень когерентности для двух точек экрана, освещаемого протяженным квазимонохроматическим источником. Теорема показывает, как происходит преобразование поперечной корреляционной функции светового пучка в процессе распространения.

Из теоремы следует, что поперечный радиус корреляции частично когерентного волнового пучка в процессе распространения за счет дифракции увеличивается.

Будем считать, что свет является квазимонохроматическим. Мы знаем, что взаимная интенсивность распространяется в соответствии с законом

который справедлив для различной степени когерентности, характеризуемой взаимной интенсивностью J(P₁,P₂).

Для некогерентного источника с точностью до константы

Взаимная интенсивность получается, используя "избирательные" свойства δ -функции.

Чтобы упростить это выражение, примем некоторые предположения и приближения.

1.Размеры источника и области наблюдения намного меньше расстояния z, от источника до плоскости наблюдения, тогда

Тогда выражение для взаимной интенсивности в наблюдаемой области

Рис. 6.5. К выводу теоремы Ван Циттерта-Цернике

Далее, предполагая, что плоскости источника излучения и наблюдения параллельны и учитывая параксиальное приближение

Вводя обозначения Δx = x₂ − x₁, Δy = y₂ − y₁, и, принимая во внимание, что I(ξ,η) = 0 для области вне источника Σ, окончательно получим

где фазовый множитель

ρ1 и ρ2 - расстояния от точек (x1,y1) и (x1,y2) до оптической оси.

В нормированном виде теорема принимает

Если выполняется равенство