Метод контурных токов. При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре течет свой контурный ток

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи ветвей через контурные токи.

Получим алгоритм расчета цепей методом контурных токов на примере схемы, приведенной на рисунке. В цепи три независимых контура. Предположим, что в каждом контуре протекает свой контурный ток в указанном направлении. Для каждого из контуров составим уравнения по II закону Кирхгофа. При этом учтем, что по смежной ветви для контурных токов I ₁₁ и I ₂₂ (ветвь bd, содержащая сопротивление R ₂) протекает ток I ₁₁ - I ₂₂, по смежной ветви для контурных токов I ₃₃ и I ₂₂ (ветвь dс, содержащая сопротивление R ₅) протекает ток I ₃₃ - I ₂₂, по смежной ветви для контурных токов I ₁₁ и I ₃₃ (ветвь аd, содержащая сопротивление R ₄) протекает ток I ₁₁ - I ₃₃.

Схема для получения уравнений в методе контурных токов.

Тогда уравнения по II закону Кирхгофа для каждого контура принимают следующий вид:

Сгруппируем слагаемые при одноименных токах:

Введем обозначения:

В окончательном виде система уравнений для контурных токов приобретает следующий вид:

Систему уравнений можно представить в матричной форме

Собственное сопротивление контура (R_ii) представляет собой арифметическую сумму сопротивлений всех потребителей, находящихся в i -ом контуре.

Взаимное сопротивление i -го и j -го контуров (R_ij = R_ji) представляет собой алгебраическую сумму сопротивлений потребителей ветви (нескольких ветвей), одновременно принадлежащих i -ому и j -ому контурам. В эту сумму сопротивление входит со знаком «+», если контурные токи протекают через данное сопротивление в одном направлении (согласно), и знак «–», если они протекают встречно. Рекомендуется для единообразия в знаках сопротивлений с разными индексами все контурные токи направлять в одну и ту же сторону, например по часовой стрелке. В этом случае сопротивления в эту сумму будут всегда входить со знаком «–».

Контурные ЭДС представляют собой алгебраическую сумму ЭДС источников, входящих в контур. Со знаком «+» в эту сумму входят ЭДС источников, действующих согласно с обходом контура, со знаком «–» входят ЭДС источников, действующих встречно.

Решение полученной системы можно выполнить методом Крамера

,

Соответствующие определители матриц составлены из коэффициентов уравнений:

В результате решения системы уравнений какой-либо один или несколько контурных токов могут оказаться отрицательными.

По найденным контурным токам при помощи I закона Кирхгофа определяются токи ветвей. В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами (например, в ветви с сопротивлениями R ₁, R ₃, R ₆ на рис. 1.29), найденный контурный ток является действительным током ветви. В смежных ветвях через контурные токи определяют фактические токи ветвей. Например, в ветви с со­противлением R ₂ протекающий сверху вниз ток равен разности I ₂ = I ₁₁ - I ₂₂.