Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента

Э п ю р а Q_y. Строится по формуле Q_y = Q_o ± qz. В данном случае перед вторым слагаемым следует взять знак “плюс”, так как погонная нагрузка положительна (см. правила построения эпюр). На участках АВ и ВС эпюра Q_y изображается прямой, наклоненной вверх (в направлении погонной нагрузки q), а на участке CD поперечная сила постоянна (q = 0). В сечениях В и D на балку действуют сосредоточенные силы R_A и R_D, поэтому на эпюре Q_y возникают скачки. Вычисляем значения поперечной силы в характерных точках Q_A = 0,

Q_BA = Q_A + q × a = qa, Q_BC = Q_BA - R_B = qa - 2 qa = - qa,

Q_C = Q_BC + q ×3 a = - qa + 3 qa = 2 qa и строим эпюру Q_y.

Э п ю р а М_х. Она строится по формуле М_х = М_о + w _Q. На участках с погонной нагрузкой (АВ и ВС) изгибающий момент изменяется по закону квадратной параболы (M_x = M_o + Q_oz + 0,5 qz ²), обращенной выпуклостью вверх (в сторону погонной нагрузки q). В сечениях А и D, где приложены сосредоточенные пары, на эпюре М_х наблюдаются скачки, причем момент qa ² вызывает растяжение сверху (при обходе слева направо), поэтому в сечении А скачок направлен вверх, а момент 3 qa ² вызывает растяжение снизу (при обходе справа налево), поэтому в сечении D скачок происходит вниз. На участке АВ парабола строится по двум точкам А и В, а на участке ВС – по трем точкам (к крайним точкам В и С добавляется точка экстремума). Положение точки экстремума определяется из условия z_o = Q_BC / tga. Согласно дифференциальной зависимости tga = dQ / dz = q, поэтому z_o = qa / q = 0. Вычисляем значения момента в характерных точках:

M_A = - qa ², M_B = M_A + w _Q = - qa ² + (1/2)× qa × a = - qa ²/2,

M _max = M_B + w _Q = - qa ²/2 - (1/2)× qa × a = - qa ²,

M_C = M _max + w _Q = - qa ² + (1/2)×2 qa ×2 a = qa ²

и строим эпюру М_х.

П р и м е р 1.10

По заданной эпюре поперечной силы Qy установить нагрузку, действующую на двухопорную балку, и ее опорные реакции. Построить также эпюру изгибающего момента, учитывая, что на правой опоре С приложена пара сил. Р е ш е н и е. Скачки на эпюре Qy свидетельствуют о приложенных в этих сечениях

Рис. 1.16

сосредоточенных силах. Приняв направление обхода слева направо, получим: реакция в точке А равна R_A = qa и направлена вверх; в сечении В приложена сосредоточенная сила F = 5 qa, направленная вверх; наконец, реакция R_B = 2 qa и направлена вниз. На участке АВ поперечная сила изменяется по линейному закону, что связано с наличием погонной нагрузки, интенсивность которой определяется как тангенс угла наклона прямой q_y = dQ / dz = (-3 qa - qa)/4 a = - q. Знак “минус” означает, что нагрузка направлена вниз. Для определения неизвестной пары сил М, приложенной в сечении С, составим уравнение моментов относительно этой точки:

å m_C = 0, - R_A ×7 a - F ×3 a + q ×4 a ×5 a + M_C = 0,

откуда M_C = 2 qa ² и направлен против часовой стрелки.

Эпюру М_х строим по формуле М_х = М_о + w _Q. На участке АВ изгибающий момент изменяется по квадратичному закону. На концевой шарнирной опоре А нет пары сил, поэтому М_А = 0. В сечении, где Q_y = 0, изгибающий момент принимает экстремальное значение:

M _max = M_A + w _Q = (1/2) qa × a = qa ²/2.

Находим момент в сечении В: M_B = M _max + w _Q = qa ²/2- - (1/2)3 qa ×3 a = -4 qa ² и по трем точкам приближенно строим параболу, обращенную выпуклостью вниз. На участке ВС изгибающий момент изменяется по линейному закону от M_B = -4 qa ² до M_C = M_B + w _Q = -4 qa ² + 2 qa ×3 a = 2 qa ². По условию загружения балки также имеем M_C = 2 qa ². Совпадение значений М_С, найденных независимо друг от друга, свидетельствует о правильности построения эпюры М_х.

П р и м е р 1.11 По заданной эпюре изгибающего момента построить эпюру поперечной силы и определить нагрузку, действующую на балку. Криволинейный участок эпюры Мх очерчен по квадратной параболе, а кружком отмечена ее вершина.

Рис. 1.17

Р е ш е н и е.

На участке АВ изгибающий момент изменяется по квадратичному закону: M_x = M_o + Q_oz - 0,5 qz ². Так как вершина параболы совпадает с точкой А, то М_о = М_А = 0 и Q_o = 0. Следовательно, М_х = -0,5 qz ². Момент в бесконечно близком сечении слева от опоры В, судя по приведенной эпюре, равен М_ВА = -40 кН×м. С другой стороны, М_ВА = -0,5 q (2)². Следовательно, q = 20 кН/м. Парабола обращена выпуклостью вниз, поэтому и погонная нагрузка направлена вниз.

В сечении В изгибающий момент изменяется скачком от М_ВА = -40 кН×м до М_ВС = -10 кН×м, что свидетельствует о наличии пары сил М ₁ = 30 кН×м, вызывающей растяжение нижних волокон (при обходе слева направо), т.е. направленной по часовой стрелке. На опоре С приложена пара сил с моментом М ₂ = 20 кН×м, вызывающая растяжение снизу (при обходе справа налево), т.е. направленная против часовой стрелки.

На участке ВС поперечная сила постоянна и равна тангенсу угла наклона прямой, т.е. Q_BC = dM / dz = tga = (20 + + 10)/3 = 10 кН. На участке АВ поперечная сила изменяется по линейному закону (Q_y = Q_o - qz) от Q_o = Q_A = 0 до Q_BA = - q ×2 = -40 кН. По скачкам на эпюре Q_y находим величины и направления реакций: R_B = 50 кН (направлена вверх) R_C = 10 кН (направлена вниз).

Рис. 1.18

П р и м е р 1.12 Построить эпюры продольной и поперечной сил, а также изгибающего момента для рамы, приведенной на рис. 1.18. Р е ш е н и е. 1. Определение опорных реакций. Составляем уравнения равновесия: å Х = 0,

Н_А = 4 qa; å m_A = 0, V_D ×4 a - 4 qa ² + q ×4 a × a - F ×2 a = 0,

откуда V_D = 2 qa; å m_D = 0,

- V_A ×4 a - Н_А × a - 4 qa ² + q ×4 a ×2 a + F ×2 a = 0, откуда V_A = 2 qa.

Проверка: å Y = V_A + V_D - F º 0.

2. Построение эпюр N_z, Q_y, M_x.

Э п ю р а N_z. В стойках: N_AB = - V_A = -2 qa,

N_CD = - V_D = -2 qa. Ригель ВС сжимается силой Н_А, поэтому N_DC = - H_A = -4 qa. На консоли СЕ продольная сила отсутствует, т.е. N_СЕ = 0.

Э п ю р а Q_y. На участках АВ, ВС и СЕ нет погонной нагрузки, поэтому поперечная сила постоянна. В стойке CD поперечная сила изменяется по линейному закону. Вычисляем поперечную силу в характерных точках Q_A = - H_A = - 4 qa, Q_BK = V_A = 2 qa, Q_CK = Q_BK - F = -2 qa, Q_CD = H_A = 4 qa, Q_D = 0, Q_E = 0 и строим эпюру Q_y.

Э п ю р а М_х. В стойке АВ изгибающий момент изменяется по линейному закону от М_А = 0 до М_В = - Н_А ×3 a = -12 qa ² (растяжение с наружной стороны контура). Аналогичный характер имеет эпюра М_х на участках ВК и КС. Находим М_К = V_A ×2 a - Н_А ×3 a = -8 qa ² растяжение снаружи и М_СК = V_A ×4 a - Н_А ×3 a - F ×2 a = -12 qa ².

Рис. 1.19

На консоли СЕ изгибающий момент постоянен (Q_y = 0) и равен М_СЕ = -4 qa ² (растяжение сверху). В стойке CD, загруженной равномерно распределенной нагрузкой, момент изменяется по закону квадратной параболы, обращенной выпуклостью в сторону погонной нагрузки (влево). По условию загружения на опоре D M_D = 0, а в сечении С изгибающий момент вычисляем как сумму моментов всех сил, расположенных ниже этого сечения M_CD = - q ×4 a ×2 a = -8 qa ² (растяжение с наружной стороны контура). По двум точкам (С и D) приближенно строим параболу.

П р и м е р 1.13 Для рамы, жестко защемленной одним концом, построить эпюры Nz, Qy и Mx. Р е ш е н и е. 1. Определение опорных реакций: å Xi = 0, HD = 4 qa; å Yi = 0, VD = q ×10 a = 10 qa;

Рис. 1.20

å m_D = 0, M_D = q ×10 a ×5 a -20 qa ² = 30 qa ².

2. Построение эпюр N_z, Q_y, M_x.

Э п ю р а N_z. Стойка CD сжимается силой N_CD = - V_D = -10 qa, а ригель ВС растягивается силой N_BC = F = 4 qa. В остальных стержнях продольной силы нет.

Э п ю р а Q_y. На участках ВК и CD поперечная сила постоянна Q_BK = F =4 qa, Q_CD = - H_D = -4 qa, а в ригеле АС изменяется по линейному закону от Q_A = 0 до Q_CB = - q ×10 a = -10 qa.

Рис. 1.21

Э п ю р а М_х. В стойке ВК момент изменяется по линейному закону от М_К = 0 до М_ВК = 4 qa ×6 a = 24 qa ² (растяжение с внутренней стороны контура). В стойке CD также имеем линейный закон со скачком в сечении Е, где приложена пара сил 20 qa ². Сосредоточенный момент вызывает растяжение с правой стороны стойки при движении от точки D к точке С, поэтому и скачок на эпюре будет вправо на величину приложенного момента. Вычисляем

M_ED = - M_D + H_D ×3 a = -30 qa ² + 4 qa ×3 a = -18 qa ²,

M_EC = M_ED - M = -18 qa ² - 20 qa ² = -38 qa ²,

M_CE = - M_D - M + H_D ×60 = -26 qa ² и строим эпюру в стойке CD. В узле С нет внешней пары сил, поэтому M_CB = M_CE = -26 qa ². В ригеле АС, нагруженном погонной нагрузкой q, изгибающий момент изменяется по квадратичному закону. В точке А нет внешней пары сил, поэтому М_А = 0. Вычисляем

M_BA = - q ×4 a ×2 a = -8 qa ² (растяжение сверху),

M_BС = - q ×4 a ×2 a + F ×6 a = 16 qa ² (растяжение снизу) и строим параболу, обращенную выпуклостью вниз (в направлении погонной нагрузки q).

П р и м е р 1.14.Построить эпюру изгибающего момента, возникающего в раме, приведенной на рис. 1.22,а. Задачу предлагается решить самостоятельно. Для контроля на рис. 1.22,б дается решение.

Рис. 1.22