О б щ и е с в е д е н и я

ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ

О б щ и е с в е д е н и я

Рассмотрим брус, обладающий хотя бы одной плоскостью симметрии нагруженный произвольной системой сил (рис. 1.1,а). Свяжем с ним прямоугольную декартову систему координат. Ось z совместим с осью бруса (геометрическое место центров тяжести поперечных сечений), а две другие, x и y, расположим в плоскости поперечного сечения, совместив одну из них, например, ось y, с осью симметрии последнего.

Рис. 1.1

Рассечем брус плоскостью П, перпендикулярной к оси z, на две части и одну из частей, например П, отбросим, заменив ее действие на оставшуюся внутренними силами (рис. 1.1,б). Выбрав в качестве центра приведения центр тяжести сечения abcd, заменим внутренние силы их интегральными характеристиками – главным вектором и главным моментом . Раскладывая и по осям x, y и z, получим (1.1)

Здесь N_z – продольная сила; Q_x (Q_y) – поперечные силы; M_x (M_y) – изгибающие моменты; M_z - крутящий момент. Это и есть внутренние силовые факторы в поперечном сечении бруса.

Для расчета конструкций на прочность необходимо знать, как изменяются внутренние силовые факторы по длине бруса. С этой целью строятся их графики, называемые эпюрами.

Остановимся на приемах построения эпюр в частных случаях.

1.2. Построение эпюр для стержней,

нагруженных осевыми силами.

Рис. 1.2	При нагружении стержня осевыми силами в его поперечных сечениях возникают только продольные силы Nz и он испытывает деформации растяжения или сжатия. Продольной силе, вызывающей растяжение, приписывается знак “плюс”; при сжатии продольная сила считается отрицательной.

Выделим из стержня, нагруженного распределенной осевой нагрузкой интенсивности q_z (рис. 1.2), бесконечно малый элемент d_z и составим для него уравнение равновесия в проекции на ось z:

å Z_i = 0, N_z + dN_z - N_z - q_zdz = 0,

откуда . (1.2)

Интегрируя это выражение, получим

. (1.3)

Если q_z = ± q = сonst, то N_z = N_o ± qz, (1.4)

т.е. продольная сила изменяется по линейному закону. Знак “плюс” соответствует погонной нагрузке, вызывающей растяжение стержня; при сжатии берется знак “минус”. При отсутствии погонной нагрузки (q = 0) продольная сила постоянна (N_z = N_o = const).

Рис. 1.3

П р и м е р 1.1. Построить эпюру Nz для стержня, приведенного на рис. 1.3. Р е ш е н и е. Стержень нагружен только сосредоточенными осевыми силами, поэтому согласно зависимости (1.4) продольная сила в

пределах каждого участка постоянна. На границе участков N_z претерпевает разрывы. Примем направление обхода от свободного конца (сеч. Е) к защемлению (сеч. А). На участке DE продольная сила положительна, так как сила вызывает растяжение, т.е. N_ED = + F. В сечении D продольная сила меняется скачком от N_DE = N_ED = F до N_DС = N_DЕ – 3 F = – 2 F

(находим из условия равновесия бесконечно малого элемента dz, выделенного на границе двух смежных участков CD и DE). Заметим, что скачок равен по величине

приложенной силе 3F и направлен в сторону отрицательных значений N_z, так как сила 3F вызывает сжатие. На участке CD имеем N_СD = N_DС = – 2 F. В сечении C продольная сила изменяется скачком от N_СD = – 2 F до N_СВ = N_СD + 5 F = 3 F. Величина скачка равна приложенной силе 5 F. В пределах участка CВ продольная сила опять постоянна N_СВ = N_ВС =3 F. Наконец, в сечении В на эпюре N_z опять скачок: продольная сила меняется от N_ВС = 3 F до N_ВА = N_ВС – 2 F = F. Направление скачка вниз (в сторону отрицательных значений), так как сила 2 F вызывает сжатие стержня. Эпюра N_z приведена на рис. 1.3,б.

П р и м е р 1.2. Стержень, нагруженный, как показано на рис. 1.4, а, удерживается в опоре силами трения, равно-

Рис. 1.4

мерно распределенными по ее толщине. Построить эпюру продольной силы. Р е ш е н и е. Из условия равновесия стержня в проекции на ось z находим интенсивность сил трения: å Zi = 0, 2 F + 4 F = q ×2 a,

откуда q = 3 F / a.

Эпюру N_z строим по формуле N_z = N_o ± qz. Согласно этой зависимости на участках АВ и CD продольная сила постоянна, так как погонной нагрузки нет (q = 0). На участке ВС продольная сила изменяется по линейному закону (q = const). В сечениях А и D, где приложены сосредоточенные силы, на эпюре N_z имеют место скачки, равные по величине приложенным силам. Примем направление обхода слева направо. В сечении А сила 2 F вызывает сжатие, поэтому N_AB = -2 F. На участке ВС продольная сила изменяется от N_B = N_A = -2 F до N_С = N_В + q ×2 a = 4 F. На участке CD продольная сила постоянна и равна N_СD = 4 F.

Рис. 1.5

П р и м е р 1.3. Стержень, изображенный на рис. 1.5,а, нагружен уравновешенной системой в виде сосредоточенных и распределенных сил. Эпюра продольной силы показана на рис. 1.5,б. Определить значения и направления приложенной к стержню нагрузки.

Р е ш е н и е.

В сечениях 1, 2, 3, 4 на эпюре имеются скачки, что связано с приложенными здесь сосредоточенными силами. Скачку вверх соответствует сила, вызывающая растяжение в рассматриваемом сечении; при скачке вниз сила вызывает сжатие. Величина скачка равна приложенной силе. Будем перемещаться по стержню слева направо. В сечении 1 приложена растягивающая сила F ₁ = 20 кН, направленная влево. Далее на участке 12 на стержень действует распределенная нагрузка постоянной интенсивности, равной согласно дифференциальной зависимости q_z = dN_z / dz тангенсу угла наклона прямой, т.е. q ₁₂ =(60-20)/2 = 20 кН/м. Погонная нагрузка вызывает растяжение и направлена влево. Приложенная в сечении 2 сила F ₂ = 100 кН вызывает сжатие и направлена вправо. На участке 23 распределенной нагрузки нет, так как продольная сила постоянна. В сечении 3 приложена растягивающая сила F ₃ = 80 кН (направлена влево). На участке 34 действует распределенная нагрузка интенсивности q ₃₄ = (-40 - 40)/1 = -80 кН/м, вызывающая сжатие и направленная вправо. Наконец, в сечении 4 приложена сила F ₄ = 40 кН, направленная влево.

П р и м е р 1.4. Эпюры N_z для стержней, представленных на рис. 1.6, предлагается построить самостоятельно. Для проверки тут же дается решение.

Рис. 1.6