Метод Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений

Метод Эйлера является простейшим методом для решения дифференциальных уравнений первого порядка

при начальных условиях .

Метод основан на разложении функции решения ДУ в ряд Тейлора в окрестности х₀ при х = х₀ + h

(1)

Если h мало, то члены, содержащие h во второй и более высоких степенях, являются малыми более высоких порядков и ими можно пренебречь. Тогда получим

(2)

Таким образом, можно получить приближенное значение зависимой переменной у при малом смещении h от начальной точки. Этот процесс можно продолжить, вычисляя очередное значение функции по формуле

, i = 0,1,2, …………., (3)

где

- последующее значение функции;

- предыдущее значение функции;

- шаг интегрирования;

- значение производной.

Пример

Методом Эйлера составить на отрезке [0,1] таблицу значений решения ДУ

при начальном условии у(0)=1 и шаге интегрирования h=0,1.

Решение.

Используем формулу Эйлера

1. ;

2. ;

Аналогично вычисляются остальные значения функции решения.

i	x	y
	0,1		0,05	0,005
	0,2	1,005	0,1005	0,0101
	0,3	1,0151	0,1523	0,0152
	0,4	1,0303	0,2061	0,0206
	0,5	1,0509	0,2627	0,0263
	0,6	1,0772	0,3232	0,0323
	0,7	1,1095	0,3883	0,0388
	0,8	1,1483	0,4593	0,0459
	0,9	1,1942	0,5374	0,0537
	1,0	1,2479