Метод итераций для системы линейных уравнений

Имеется система трех линейных уравнений с определителем не равным нулю, а значит с единственным решением.

a₁₁ х₁ + a₁₂ х₂+ a₁₃ х₂= b₁,

a₂₁ х₁+ a₂₂ х₂+ a₂₃ х₃ = b₂, (2)

a₃₁ х₁+ a₃₂ х₂ + a₃₃ х₃ = b_3.

Разрешаем первое уравнение относительно х₁ , второе относительно х₂ и третье относительно х₃ , т.е. приводим исходную систему уравнений к нормальному виду.

Для первого уравнения получим

х₁ =

Введем обозначения

= ; = ; = .

В результате будет получена система линейных уравнений нормального вида

х₁ = + х₂ + х₃

х₂ = + х₁ + х₃ (3)

х₃ = + х₁ + х₂

Для решения системы необходимо принять начальные приближения и утонить их в процессе решения. Если ничего неизвестно о значениях корней, то за начальное приближение обычно принимают

, т.е.

; ; .

Начальные приближения подставляются в систему нормального вида (3) и после вычисления будут получены следующие приближения . Для первого уравнения этой системы получим

= + +

Если последовательность приближений ………. имеет предел, то он является приближенным решением исходной системы и итерационный процесс сойдется.

Признаком сходимости итерационного процесса для системы линейных уравнений будет

| (i = 1, 2, ….., n), (4)

т.е. абсолютная величина ведущего элемента а₁₁, а₂₂ …..а_nn больше суммы остальных элементов каждого уравнения.

Итерации продолжаются до тех пор, пока абсолютное значение разности двух соседних приближений не станет меньше или равным заданной величины точности

| - | (5)

Пример

Решить систему линейных уравнений методом итераций c точностью 0,01.

4х₁ + 0,24х₂ – 0,08х₃ = 8,

0,09х₁ + 3х₂ – 0,15х₃ = 9,

0,04х₁ – 0,08х₂ + 4х₃ = 20.

Решение.

1. Проверяется система на сходимость.

|4| > |0,24| + |-0,08|; |3| > |0,09| +|-0,15|; |4| > |0,04| +|0,08|. Так как для каждого уравнения системы выполняется условие сходимости, то итерационный процесс сходится.

1. Приводится система к нормальному виду

х₁ = 2 – 0,06х₂ + 0,02х₃;

х₂ = 3 – 0,03х₁ + 0,05х₃,

х₃ = 5 – 0,01х₁ + 0,02х₂.

2. Выбираются нулевые приближения

2; 3; 5.

3. Начальные приближения подставляются в систему нормального вида

2 – 0,06 * 3 – 0,02 * 5 = 1,92;

3 – 0,03 * 2 + 0,05 * 5 = 3,19;

5 – 0,01 * 2 + 0,02 * 3 = 5,04.

4. Оценивается точность для каждого корня

| - | = |1,92 – 2| = 0,08 > 0,01. Для остальных корней нет смысла оценивать точность, так как условие точности должно одновременно выполняться для всех корней системы.

6. Продолжить вычисления и найти вторые приближения корней.

Задание 3