Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Исследование функций и построение графиков(общая схема исследования)
1) Находим область определения функции.
2) Находим точки разрыва функции (если они существуют) и определяем род точек разрыва.
3) Определяем, является ли функция четной, нечетной, общего вида, периодической.
4) Находим точки пересечения графика функции с осями координат () и интервалы знакопостоянства функции.
5) Находим асимптоты графика функции.
Определение. Прямая называется асимптотой некоторой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю (рис. 1). y
асимптота
x
рис. 1
а) Вертикальные асимптоты: , где точка ─ точка разрыва второго рода. б) Наклонные асимптоты: , где . Частный случай: ─ горизонтальная асимптота.
6) Находим точки экстремума функции и интервалы возрастания, убывания.
Пусть функция непрерывна во всех точках отрезка и дифференцируема всюду на интервале . Если на , то возрастает (убывает) на отрезке . Определение. Функция имеет максимум (max) в точке , если можно найти такую окрестность точки , что для всех точек этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство . Определение. Функция имеет минимум (min) в точке , если можно найти такую окрестность точки , что для всех точек этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство .
Max и min функции называют экстремумами (от лат. крайний).
Функция может иметь экстремум либо в тех точках, где производная существует и равна нулю , либо в тех точках, где производная не существует . Те точки, в которых или , называют критическими точками.
Если точка ─ точка max (рис. 2) Если точка ─ точка min (рис. 3)
рис. 2 рис. 3
7) Находим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.
График функции выпуклый вверх в некоторой окрестности точки , если в этой окрестности он расположен под касательной к графику функции в точке (рис. 4).
График функции выпуклый вниз в некоторой окрестности точки , если в этой окрестности он расположен над касательной к графику функции в точке (рис. 5).
рис. 4 рис. 5
Если во всех точках интервала , то кривая на этом интервале выпукла вверх (выпукла вниз).
Точки графика, в которых меняется направление выпуклости- вогнутости, называются точками перегиба.
Если или и при переходе через значение меняет знак, то точка ─ точка перегиба.
8) Если после проведенного исследования полученных данных недостаточно для построения графика, необходимо найти несколько дополнительных точек.
|