Законы изменения и сохранения момента импульса

Момент силы.

Моментом силы относительно точки называется физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы:

.

Для модуля момента силы имеем

.

Плечом l силы относительно точки O называется расстояние l от точки O до линии действия силы :

.

5.1. К материальной точке, радиус – вектор которой относительно начала координат O равен , приложена сила . Вычислите момент и плечо l силы относительно точки O.

5.3. К материальной точке, радиус – вектор которой относительно начала координат O равен , приложена сила . Вычислите момент и плечо l силы относительно точки O.

5.4. К материальной точке, радиус – вектор которой относительно начала координат O равен , приложена сила . Вычислите момент и плечо l силы относительно точки O.

Момент импульса материальной точки.

Моментом импульса материальной точки относительно точки O называется физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора материальной точки на вектор импульса материальной точки:

.

Для модуля момента импульса имеем

.

5.7. Радиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен . Импульс этой материальной точки равен . Вычислите момент импульса материальной точки относительно точки O.

5.9. Радиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен . Импульс этой материальной точки равен . Вычислите момент импульса материальной точки относительно точки O.

5.10. Радиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен . Импульс этой материальной точки равен . Вычислите момент импульса материальной точки относительно точки O.

Уравнение моментов или закон изменения момента импульса.

5.11. Радиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен . Импульс этой материальной точки равен . Здесь - величина постоянной скорости материальной точки. Найдите момент импульса материальной точки относительно точки O. Затем найдите производную . После этого определите вектор силы, действующей на материальную точку и, наконец, найдите момент силы относительно начала координат O. Теперь убедитесь в справедливости уравнения моментов.

5.13. Радиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен . Импульс этой материальной точки равен . Здесь и ω- постоянные величины. Найдите момент импульса материальной точки относительно точки O. Затем найдите производную . После этого определите вектор силы, действующей на материальную точку и, наконец, найдите момент силы относительно начала координат O. Теперь убедитесь в справедливости уравнения моментов.

5.14. Небольшое тело массой m брошено со скоростью под углом a к горизонту в однородном поле сил тяжести (ускорение свободного падения равно ). Найдите момент импульса материальной точки относительно стартовой точки O. Затем найдите производную . После этого определите вектор силы, действующей на материальную точку и, наконец, найдите момент силы относительно точки O. Теперь убедитесь в справедливости уравнения моментов.

5.18. Однородный шар массы m и радиуса R начинает скатываться без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом. Найдите зависимость от времени модуля момента импульса шара относительно точки касания в начальный момент времени.

Сохранение момента импульса.

Если импульс момента силы , вычисленный относительно некоторой точки равен нулю, то момент импульса, вычисленный относительно той же точки, сохраняется:

если , то .

5.19. Частица движется в центральном поле сил с центром в точке О (см. рис.). На рисунке показан участок траектории. Считая известными , a, r ₁, b и r ₂, найдите .

5.20. Спутник движется по эллиптической орбите вокруг планеты. Напишите формулу, связывающую скорости , и соответствующие расстояния r ₁, r ₂ (от спутника до планеты) для моментов максимального и минимального удаления спутника от планеты.

Собственный момент импульса.

Собственным моментом импульса материальной точки называется ее момент импульса, вычисленный в системе отсчета центра масс:

,

при этом вектор от выбора начала отсчета радиус-вектора не зависит.

Момент импульса системы материальных точек определяется как сумма (конечно векторная) моментов импульса материальных точек, причем все моменты импульсов вычисляются относительно одной и той же точки пространства.

Наконец приведем формулу, связывающую момет импульса системы материальных точек в лабораторной системе отсчета и в системе отсчета центра масс:

.

Здесь второе слагаемое в правой части равенства – векторное произведение радиус – вектора центра масс системы материальных точек на импульс системы материальных точек в лабораторной системе отсчета.

5.21. Две частицы массами m ₁ и m ₂ движутся в лабораторной системе отсчета со скоростями и , причем = = . Известен радиус-вектор , проведенный от частицы 1 к частице 2. Вектор перпендикулярен , а вектор направлен вдоль . Непосредственным вычислением найдите собственный момент импульса этой системы частиц.

5.22. Шарик массы m, двигавшийся со скоростью испытал упругое лобовое столкновение с шариком массы m покоившейся жесткой гантели. Масса второго шарика гантели равна 2 m, длина легкого соединительного стержня равна l. Считая шарики материальными точками, найдите собственный момент импульса гантели после соударения.

5.23. Шарик массы 2 m, двигавшийся со скоростью испытал упругое лобовое столкновение с одним из шариков покоившейся жесткой гантели. Масса каждого шарика гантели равна m /2, длина легкого соединительного стержня равна l. Считая шарики материальными точками, найдите собственный момент импульса гантели после соударения.

5.24. Шарик массы m, двигавшийся со скоростью приклеился к шарику массы m покоившейся жесткой гантели. Масса второго шарика гантели равна 2 m, длина легкого соединительного стержня равна l. Считая шарики материальными точками, найдите собственный момент импульса гантели после соударения и приращение D E механической энергии системы тел.

5.25. Шарик массы 2 m, двигавшийся со скоростью приклеился к шарику массы m покоившейся жесткой гантели. Масса второго шарика гантели равна 3 m, длина легкого соединительного стержня равна l. Считая шарики материальными точками, найдите собственный момент импульса гантели после соударения.

5.26. Шарик массы m, двигавшийся со скоростью приклеился к шарику массы m покоившейся жесткой гантели. Масса второго шарика гантели равна 2 m, длина легкого соединительного стержня равна l. Считая шарики материальными точками, найдите D E приращение кинетической энергии системы тел в результате соударения и количество N оборотов гантели за время t.