Метод рівнянь Кірхгофа

Розв’язання:

1. Визначимо струми методами рівнянь Кірхгофа, для чого довільно виберемо напрями струмів у вітках (рис. 2.2.9.1)

Рис. 5

Так як невідомих три (I₁, I₂, I₃), то треба скласти три рівняння. Перше рівняння складаємо за першим законом Кірхгофа для вузла «а».

Взагалі кількість рівнянь, що складаються за першим законом Кірхгофа, дорівнює кількості вузлів без одиниці:

N _рівн. = N _вуз – 1.

За другим законом Кірхгофа, кількість рівнянь дорівнює кількості незалежних контурів, або

N _рівн. = N _віток - N _вуз + 1.

Тобто від кількості віток віднімають кількістьь рівнянь, що складені за першим законом Кірхгофа.

Для того, щоб скласти рівняння за другим законом Кірхгофа, треба довільно вибрати напрями обходу контурів. Вибираємо одностайні напрями у кожному з контурів за годинниковою стрілкою.

Рівняння, складені за другим законом Кірхгофа, матимуть вигляд:

I₁R₁ + I₃R₃ = E₁,

I₂R₂ - I₃R₃ = -E₂.

Знак «плюс» перед добутком I x R ставиться тоді, коли напрям обходу і напрями струму у вітці збігаються, а мінус – коли вони мають протилежні напрями. Це правило стосується і знаків при ЕРС, тобто якщо напрям дії ЕРС збігається з напрямом обходу контуру, то ЕРС у правій частині рівнянь має знак «плюс», якщо вони мають протилежні напрями, - то «мінус».

Таким чином, маємо систему рівнянь:

Підставляємо значення параметрів елементів і розв’язуємо систему рівнянь:

Підставляємо у друге рівняння вираз для струму I₁, який одержуємо з першого рівняння:

I₁ = I₂ + I₃,

(I₂ + I₃)50 + I₃ 100 = 10,

I₂ 100 – I₃ 100 = -7.

Отримуємо систему з двох рівнянь:

I₂ 50 + I₃ 150 = 10,

I₂ 100 – I₃ 100 = -7.

Помножимо перше рівння на 2 і віднімемо від нього друге рівняння. Матимемо:

Підставляючи значення I₃ у друге і третє рівняння, визначимо

I₁ = 0,065 A,

I₂ = -0,0025 A.

Задача 6. Електричне коло (Рис. 6) має три вітки і два вузли. Величини елементів, що складають коло, дорівнюють: Е₁ = 10 В, Е₂ = 7 В, R₁ = 50 Ом, R₂ = 100 Ом, R₃ = 100 Ом. Визначити струми у вітках методом контурних струмів.

Рис. 6