Динамика материальной системы и твердого тела

Центр масс (центр инерции) – геометрическая точка, радиус-вектор которой определяется равенством: , где – радиусы-векторы точек, образующих систему. Координаты центра масс: и т.д. Дифф-ныеур-ния движения системы матер.точек: или в проекциях на оси координат: и т.д. для каждой точки (тела) системы. Момент инерции матер.точки: mh². Момент инерции тела: J_z= åm_kh_k². При непрерывном распределении масс:J_x= ò(y²+z²)dm; J_y= ò(z²+x²)dm; J_z= ò(x²+y²)dm.J_z= M×r², r – радиус инерции тела. Полярный момент инерции J_o= ò(x²+y²+z²)dm; J_x+J_y+J_z= 2J_o. Центробежный момент инерции: J_xy=òxydm; J_yz=òyzdm; J_zx=òzxdm.J_xy=J_yx

Тензор инерции в данной точке:

Моменты инерции стержня: ; .Сплошной диск: .

Полый цилиндр: ,цилиндр с массой распределенной по ободу (обруч):

. Теорема Гюйгенса-Штейнера: . Момент инерции относительно произвольной оси: J = J_xcos²a + J_ycos²b + J_zcos²g – 2J_xycosacosb – 2J_yzcosbcosg – 2J_zxcosgcosa,если координатные оси – главные, то:J = J_xcos²a + J_ycos²b + J_zcos²g.

Теорема о движении центра масс системы:

. дифференциальное уравнение движения центра масс: .

Закон сохранения движения центра масс. Если Þ , если при этом в начальный момент v_Cx0= 0, то Þ Þx_C= const. Количество движения системы . Теорема об изменении количества движения системы: ,проекциях: . Теорема об изменении кол-ва движения системы в интегральной форме: . – импульсы внешних сил. В проекциях:Q_1x – Q_0x = åS^e_kx. Закон сохранения количества движения: Þ = const, в проекциях: ÞQ_x= const. Дифференциальное уравнение движения точки переменной массы: – уравнение Мещерского,

– реактивная сила, секундный расход топлива, . Формула Циолковского: . – число Циолковского, m₀ – стартовая масса ракеты. Главный момент количеств движения матер. системы (кинетический момент) . Теорема об изменении кинетического момента: ; . Закон сохранения кинетического момента: если , то . Кинетический момент вращающегося телаK_z = J_zw. Если M_z= 0, то J_zw = const. Кинетическая энергия системы .

Т = åТ_к. Поступательное движение: Т_пост= . Вращательное: Т_вр= . Плоскопараллельное (плоское): Т_пл= + , v_C – скорость центра масс. Теорема Кенига: Т= + . Работа момента: . Мощность: N=M_zw.

Теорема об изменении кинетической энергии системы: в дифференциальной форме:

dT = , в конечной форме: Т₂ – Т₁= . Для неизменяемой системы и Т₂ – Т₁= . Коэффициент полезного действия: ,

h= N_маш/N_дв. Закон сохранения полной механической энергии: Т + П = const.

Дифференциальные уравнения поступательного движения тела: и т.д.

Дифф-ные уравнения вращения тела вокруг неподвижной оси: , _.

1) если = 0, тоw = const; 2) = const, тоe = const.

Уравнение вращательного движения физического маятника: , , дифференциальное уравнение колебаний маятника: , sinj»j,

тогда – дифференциально уравнение гармонических колебаний.

Решение этого уравнения: j = С₁coskt + C₂sinktили j = asin(kt + b). Период малых колебаний физического маятника Т= 2p/k = 2p . Для математического маятника: ,L= – приведенная длина физического маятника.

Дифф.урав-ния плоского движениятела: ; ; .

— п ринцип Даламбера для материальной точки.

Сила инерции: , знак (–) означает, что сила инерции против ускорения.

Для системы добавляется уравнение: .

– главный вектор сил инерции, – главный момент сил инерции. , — уравнения кинетостатики.

Главный вектор сил инерции . Главный момент сил инерции при плоском движении: , при вращении вокруг оси z: .

Определение реакций при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси.

Центробежная сила инерции , вращательная .

и , , .

,

,

,

, – центробежные моменты инерции, .

Уравнения равновесия кинетостатики:

,

,

,

,

,

.

Условия отсутствия динамических составляющих:

, , , ,

откудаx_C= 0, y_C= 0, J_yz= 0, J_zx= 0.