Геометрическая интерпретация симплекс-метода

Из приведенных выше основных теорем линейного пре­мирования следует, что если задача линейного пре­мирования имеет оптимальное решение, то оно соответствует хотя бы одной угловой точке многогранника решений и совпадает, по крайней мере, с одним из допустимых базисных решений системы ограничений.

На основании этого можно предложить достаточно простой метод решения задачи линейного программирования, который сводится к следующей принципиальной схеме:

· необходимо найти все опорные решения (точки много­гранника), множество которых является конечным;

· вычислить для каждого из опорных решений значение целевой функции;

· сравнить значения целевой функции в каждом из опорных решений и выбрать оптимальное (максималь­ное или минимальное).

Теоретически данная схема приведет к нахождению оптимального решения, но практически ее осуществление связано с большими вычислительными трудностями.

Если же указанный перебор опорных решений произво­дить направленно, т.е. на каждом из шагов улучшая (или, по крайней мере, не ухудшая) значение целевой функции, то число перебираемых опорных решений можно резко сокра­тить, что в конечном итоге приводит к весьма существенно­му сокращению числа шагов при отыскании оптимума целе­вой функции. При использовании такой схемы, в отличие от первой, каждое последующее опорное решение выбирается таким образом, чтобы оно было лучше, (или, по крайней ме­ре, не хуже) предыдущего, именно поэтому на каждом из шагов значение целевой функции улучшается (или, по край­ней мере, не ухудшается).

Фундаментом универсального метода решения задач иного программирования, который называется симплекс-методом, является метод направленного перебора. (По латыни симплекс означает — простой, что в данном случае интерпретируется как простой выпуклый многогранник.)

Геометрическая интерпретация симплекс-метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогран­ника к другой (от первоначально выбранной вершины к од­ной из соседних вершин, а именно к той, у которой линейная функция принимает лучшее или, по крайней мере, не худшее значение). Этот процесс происходит до тех пор, пока не бу­дет найдено оптимальное решение — вершина, где достига­ется оптимальное значение функции (если задача имеет ко­нечный оптимум).

Идея симплекс-метода разработана русским ученым Л.В. Канторовичем в 1939 г. На основе этой идеи американ­ский ученый Д. Данциг в 1949 г. разработал симплекс-метод, позволяющий решить любую задачу линейного программи­рования.

В настоящее время на основе этого метода разработан пакет программ, с применением которого решаются задачи линейного программирования.

Вопросы для самоконтроля:

1.Основные элементы линейной алгебры. Их роль при построении модели.

2.Анализ моделей на чувствительность. Виды моделей.

Рекомендуемая литература:

1.Ашманов С.А. Линейное программирование. —М.: Наука, 1981.

2.Айсагалиев А.С., Айсагалиева С.С. Лекции по методам оптмизации.-Алматы:Гылым,1996