Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Глава 3. Специальная версия аналитической формы Теоремы Хана - БанахаЗдесь мы рассматриваем случаи, когда минорируемый линейный функционал может принимать бесконечные значения. Пусть – векторное пространство над полем вещественных чисел . Далее расширенная вещественная прямая с естественным отношением порядка и полурасширения соответственно вправо и влево. Для множеств через обозначим множество всех отображений или функционалов, если это или одно из расширений , или функций, если . Для сужение на обозначим Через обозначим пространство линейных функционалов на , т.е. для любых Пусть векторное подпространство в . Функционал допускает двойственное представление (сверху) на векторе относительно , если Если (1) выполнено для любого , то допускает двойственное линейное представление на Функционал супераддитивный на , если для всех , . Поскольку суммы () () и в [ ] не определены, данное здесь определение супераддитивности корректно только в двух случаях: когда образ
или Функционал положительно однородный, если для всех и при этом . В частности, если - положительно однородный функционал и , то . Функционал вогнутый, если неравенство выполнено для всех и , . Из тех же соображений, что и при определении супераддитивности, определение вогнутости функционала корректно только в двух случаях (2). Символами обозначаем также и функционалы , Для пустого подмножества полагаем При этом справедливо элементарное Предложение 3.1. Пусть супераддитивный или вогнутый функционал на и существует вектор , для которого . Тогда в обозначениях (4) и допускает двойственное линейное представление (сверху) на . Доказательство. Для произвольного вектора при супераддитивности имеем а при вогнутости получаем . В силу (5) для функционала при получаем, что выполнено (1) (а из этого следует, что функционал допускает двойственное линейное представление (сверху) на векторе относительно (векторного подпространства в ) и двойственное линейное представление на . Теперь в определение вогнутости неравенство (3) можно распространить и на случай , если в полагать Через обозначаем векторное пространство над аффинных функционалов на , т.е. для любых , . Каждый такой функционал однозначно представляется в виде , где и функция, равная тождественно 1, и наоборот, каждый функционал вида аффинный. Отметим также, что для любого функционал вогнутый, если и только если вогнутый функционал. Функционал допускает двойственное аффинное представление (сверху) на векторе относительно подпространства , если Если (6) выполнено для любого , то допускает двойственное аффинное представление на . Пусть - функционалы, определенные на некотором множестве , со значениями в . Пишем , если для всех . Другими словами, мажоририет на S, или миноририет на S.
|