Приближенное вычисление критических нагрузок по Эйлеру

По Эйлеру критической считается такая нагрузка, при которой возможна бифуркация – две и более форм равновесия. Переход от одной формы к другой в пределе происходит без внешнего возмущения. Таким образом, условие существования нетривиального решения

.

Например для стержня, сжатого силой Р в точке с координатой z=a, ее критическое значение должно соответствовать условию

.

В случае потери устойчивости изгибом в одной из главных плоскостей, пренебрегая работой продольных сил, получаем

,

.

Следовательно

.

Подобрав приближенно , удовлетворяющее граничным условиям, находим приближенно . Если стремится к точному решению, критическая нагрузка определяется точно. Однако приближенное значение всегда больше точного, так как потенциальная энергии «неправильного» изгиба больше реальной.

В МКЭ задача определения критических нагрузок и соответствующих им форм деформаций формулируется аналогично: найти перемещения узлов и такие числа , при которых

(9)

имеет нетривиальное решение.

Сначала задается некоторое значение нагрузки Q₀ и вычисляются . При этом перемещения узлов удовлетворяют граничным условиям. Затем известными численными методами находятся собственные числа матрицы (9), а значит и .

Каждому значению в однородной системе (9) соответствует свое соотношение перемещений узлов, т.е. форм возможной потери устойчивости. Значения критических нагрузок . Как видно, алгоритм идентичен аналитическому решению задачи устойчивости энергетическим методом. Однако точность высока, так как функции перемещений соответствуют граничным условиям в большом количестве точек, а сами функции описываются достаточно длинными рядами.