Вычисление локальной матрицы жесткости конечного элемента в МКЭ

Рассмотрим в качестве примера плоскую задачу. Принципиально также решается и объемная.

Пусть тело разбито на конечные элементы, перемещения и деформации точек которых приближенно описываются функциями от координат и перемещений узлов . При этом функции построены так, что при деформации элементов выполняется требование неразрывности тела. Если элемент ограничен ломанной, то, очевидно, функции линейны относительно перемещений узлов. Уравнение (6) будет второго порядка относительно . Уравнение (1) для элемента принимает вид

.

Условие стационарности линейно относительно

.

Расписав полный дифференциал от потенциальной энергии, и приравнивая сомножители перед приращениями перемещений, получаем формулы для вычисления элементов локальной матрицы жесткости

Составлением уравнений равновесия узлов с учетом граничных условий формируется разрешающая система линейных уравнений для определения перемещений узлов с матрицей . Решение системы определяет функции перемещений, по которым вычисляются напряжения и деформации. При этом определены и силы в узлах .