Пункт 5. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Условие равенства комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, состоит в том, что модули их равны, а аргументы могут отличаться на слагаемое, кратное 2π, то есть r ₁ = r ₂ и φ₁ = φ₂ + 2π k, где k - целое число.

Сопряженное комплексное число в тригонометрической форме отличается только знаком перед мнимой частью: r₁(cosφ₁ - i sin φ₁).

Сложение и вычитание комплексных чисел в тригонометрической форме не возможно.

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме происходит следующим образом:

соответственно z₁ и z₂ модули этих чисел, а φ₁ и φ₂ – их аргументы. Найдем произведение этих чисел:

z₁z₂ = r₁r₂(cosφ₁ + i sin φ₁)(cos φ₂ + i sin φ₂) = r₁r₂(cos φ₁cos φ₂ – sin φ₁ sin φ₂) + i = (cos φ₁sin φ₂ + sin φ₁cos φ₂).

Воспользуемся теоремами сложения синуса и косинуса:

cos φ₁cos φ₂ – sin φ₁ sin φ₂ = cos(φ₁ + φ₂);

cos φ₁sin φ₂ + sin φ₁cos φ₂ = sin(φ₁ + φ₂).

Тогда произведение данных комплексных чисел равно комплексному числу:

z₁z₂ = r₁r₂(cos(φ₁ + φ₂) + i sin(φ₁ + φ₂)).

Последнее соотношение позволяет сформулировать правило умножения комплексных чисел: при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а их аргументы складываются.

Формула Муавра. Для любого целого числа n и любого действительного числа имеет место следующее равенство:

.

Следствие (возведение комплексного числа в тригонометрической форме в степень). Пусть . Тогда

.

Таким образом, при возведении в степень модуль комплексного числа возводится в степень, а аргумент умножается на степень.

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме происходит следующим образом:

Таким образом, при делении двух комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.