подследовательности. Частные пределы

Пусть имеем последовательность . Возьмем некоторую монотонно возрастающую последовательность натуральных чисел: и рассмотрим члены последовательности с индексами , т.е. . Полученная новая последовательность называется подпоследовательностью последовательности и обозначают

Например, все члены последовательности при четных номерах равны 1, а при нечетных­ равны –1.

Определение. Если подпоследовательность последовательности имеет предел, то данный предел называется частным пределом последовательности .

Последовательность может не иметь предел, но иметь частные пределы.

Например,

1) ; при (частный предел 1); при (частный предел –1).

2) не имеет конечных частных пределов.

Теорема1. Если последовательность сходится (т.е. имеет предел), то любая ее подпоследовательность тоже сходится и сходится к тому же числу, что и сама последовательность, т.е. если , то .

Доказательство: Рассмотрим произвольную подпоследовательность последовательности и докажем, что она сходится и сходится к числу .

. Т.к. последовательность и , то , что . Тогда , . Ч.т.д.

Следовательно, сходящаяся последовательность имеет один единственный частный предел – предел последовательности.

Теорема2. Если любая подпоследовательность последовательности сходится и сходится к одному и тому же числу , то и сама последовательность сходится и сходится к числу .

Доказательство очевидно, т.к. сама последовательность для себя является подпоследовательностью.

Теорема3. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда любая подпоследовательность данной последовательности сходится, и сходится к одному и тому же пределу.

Доказательство: Пусть имеем последовательность и обозначим через множество всех частных пределов. Из теоремы 1 и теоремы 2 следует, что если последовательность сходится, то множество состоит из одной точки – это предел последовательности, а также если содержит более одной точки, то – рассходится. Т.е. если , то что .

Например, если

а) , то ;

б) , то , т.к. в этом случае (т.е нет конечных частных пределов).

Следовательно, последовательность не сходится если: не имеет частных конечных пределов или имеет более одного конечного предела. Для этого следует рассматривать только ограниченные последовательности. Оказывается, для ограниченных последовательностей всегда существует конечный частный предел, т.е имеет место следующая теорема.

Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, т.е. любая ограниченная последовательность имеет частный предел.

Доказательство: пусть имеем ограниченную последовательность , т.е. что . Разделим отрезок пополам и рассмотрим два отрезка и .

Как минимум в одном из данных отрезков находится бесконечное множество членов последовательности . Действительно, если это не так, то в обоих отрезках существуют конечные члены данной последовательности. Допустим, что в первом отрезке существуют членов, а во втором членов, следовательно, в обоих отрезках существуют членов, откуда следует, что последовательность состоит из членов, а ведь последовательность состоит из бесконечного числа элементов. Пришли к противоречию. Обозначим через данный отрезок (т.е. либо первый отрезок либо второй, т.е тот отрезок где находится бесконечное множество членов последовательности). Разделим его пополам. Опять, как минимум в одном из данных отрезков будут существовать бесконечное множество членов последовательности . Обозначим данный отрезок через и продолжим этот процесс до бесконечности. И тем самым получим, что содержит в себе , а этот отрезок содержит – , и т.д., а из построения следует, что . Следовательно, выполняются все условия теоремы о вложенных отрезках: существует, и притом единственная точка .

Построим подпоследовательность последовательности следующим образом: возьмем отрезки , ,..., и рассмотрим , ,..., , где ,..., . Получим последовательность , где Возьмем точку , Тогда, можно сказать, что , а т.к. , то если то , для Следовательно,