ГЛАВА 2. §1. Первый признак равенства треугольников

Треугольники.

§ 1. Первый признак равенства треугольников.

14.

○ Определение. Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.

○ Определение. Периметром треугольника называется сумма длин всех его сторон.

○ Замечание 1. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.

○ Замечание 2. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

15.

■ Теорема (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

16.

○ Определение. Перпендикуляром, проведенным из точки к прямой, называется отрезок, соединяющий данную точку и точку на данной прямой и лежащий на прямой, перпендикулярной данной.

○ Определение. Основанием перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется его конец, лежащий на данной прямой.

■ Теорема (о единственности перпендикуляра к прямой). Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

17.

○ Определение. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

○ Определение. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

○ Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

18.

○ Определение. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны.

○ Определение. Боковыми сторонами равнобедренного треугольника называются его равные стороны.

○ Определение. Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

■ Теорема (1 свойство равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

■ Теорема (2 свойство равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

● Следствие 1. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

● Следствие 2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников.

19.

■ Теорема (второй признак равенства треугольников). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

20.

■ Теорема (третий признак равенства треугольников). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

§ 4. Задачи на построение.

21.

* ● Определение. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

* ○ Определение. Центром окружности называется точка равноудаленная от всех точек окружности.

○ Определение. Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий центр окружности с какой-нибудь ее точкой.

○ Определение. Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности.

○ Определение. Диаметром окружности называется хорда, проходящая через ее центр.

○ Определение. Дугой окружности называется каждая из двух частей, на которые две точки делят окружность.

○ Определение. Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.

ГЛАВА 3

Параллельные прямые.

§ 1. Признак параллельности двух прямых.

24.

* ■ Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

 Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

25.

○ Определение. Прямая называется секущей по отношению к двум прямым, если она пересекает обе эти прямые.

● Теорема (1 признак параллельности двух прямых). Если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

● Теорема (2 признак параллельности двух прямых). Если две прямые пересечены секущей и соответственные углы равны, то прямые параллельны.

● Теорема (3 признак параллельности двух прямых). Если две прямые пересечены секущей и сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

§ 2. Аксиома параллельных прямых.

28.

* ● Аксиома (параллельных прямых). На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

* ● Следствие 1. На плоскости если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

● Следствие 2 (4 признак параллельности двух прямых). Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

29.

■ Теорема (1 свойство параллельности двух прямых). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

■ Следствие. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

■ Теорема (2 свойство параллельности двух прямых). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

■ Теорема (3 свойство параллельности двух прямых). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

ГЛАВА 4

Соотношения между сторонами и углами треугольника.

§ 1. Сумма углов треугольника.

30.

■ Теорема (о сумме углов треугольника ). Сумма углов треугольника равна 180°.

○ Определение. Гипотенузой называется сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла.

 Определение. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

 Теорема (о внешнем угле треугольника ). Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

31.

○ Теорема. В треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

○ Определение. Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые.

○ Определение. Треугольник называется тупоугольным, если один его угол тупой.

○ Определение. Треугольник называется прямоугольным, если один его угол прямой.

○ Определение. Гипотенузой называется сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла.

○ Определение. Катетом называется сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу.

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника.

32.

● Теорема (о соотношениях межу сторонами и углами треугольника ). В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол и 2) против большего угла лежит большая сторона.

■ Следствие 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

● Следствие 2 (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

33.

■ Теорема (неравенство треугольника ). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других.

■ Следствие 2. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ<АС+СВ, АС<АВ+СВ, ВС<АС+АВ.

§ 3. Прямоугольные треугольники.

34.

● Теорема (1 свойство прямоугольных треугольников ). В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

● Теорема (2 свойство прямоугольных треугольников ). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

● Теорема (3 свойство прямоугольных треугольников ). Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против него, равен 30°.

35.

■ Теорема (1 признак равенства прямоугольных треугольников ). Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

■ Теорема (2 признак равенства прямоугольных треугольников ). Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

■ Теорема (3 признак равенства прямоугольных треугольников ). Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

■ Теорема (4 признак равенства прямоугольных треугольников ). Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

§ 4. Построение треугольника по трем элементам.

37.

○ Определение. Наклонной, проведенной из точки к прямой, называется отрезок, соединяющий эту точку и точку на прямой и не являющийся перпендикуляром к этой прямой.

○ Теорема (о перпендикуляре и наклонной). Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой.

○ Определение. Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой.

● Теорема. Если две прямые параллельны, то все точки одной прямой равноудалены от другой.

○ Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из них до другой.

* ○ Замечание. Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от нее, лежат на прямой, параллельной данной.

*****