Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической формеСтр 1 из 2Следующая ⇒ (Лекция)
Применяя формулу Муавра , легко найти комплексные корни n -й степени из произвольного отличного от нуля комплексного числа z. Пусть . Тогда un = z (1) и все корни n -й степени из числа z являются решениями уравнения (1). Поскольку комплексное число u отлично от нуля (в противном случае комплексное число z равно нулю, а мы договорились не рассматривать этот случай в виду того, что при z = 0 уравнение (1) имеет единственный n- кратный корень u = 0). Его можно представить в тригонометрической форме: u = r1 (cos φ1 + i sin φ1). Пусть, как обычно, z = r (cos φ + i sin φ), тогда уравнение (1) примет вид: r1n (cos nφ1 + i sin nφ1) = r (cos φ + i sin φ). Комплексные числа, заданные в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на 2πk (k Z). Поэтому Откуда получаем: , (k Z). Здесь − арифметический корень из положительного действительного числа r. Обозначим k -й корень n -й степени из комплексного числа z через uk. Тогда , где k Z, k = 0, 1, 2, 3, …, n −1. Замечание. Корней n -й степени из ненулевого комплексного числа z, заданного в тригонометрической форме, будет ровно n, так как именно столько различных значений будет принимать дробь , где k пробегает n значений от 0 до n-1. Пример. Найдите . Решение.− i = cos + i sin . Следовательно, Таким образом, Точки u0(0; 1), u1 и u2 являются вершинами правильного треугольника (см. рис. 1).
uk+1 равны .
|