Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

(Практика)

Задача 1. Используя тригонометрическую форму комплексного числа, произведите указанные действия:

а) ; б) .

Решение.а) Представим сначала каждое из чисел в тригонометрической форме:

;

;

.

Поэтому

б) В данном случае первый из двух сомножителей уже представлен в тригонометрической форме. Относительно второго сомножителя этого сказать нельзя, так как здесь в скобках перед синусом стоит знак минус вместо нужного нам знака плюс. Поэтому представим сначала второй сомножитель в тригонометрической форме. Для этого мы воспользуемся четностью и нечетностью тригонометрических функций косинуса и синуса соответственно:

cos (−φ) = cos (φ); sin (−φ) = −sin (φ).

Тогда можно записать:

.

Следовательно,

.

Ответ:a) 2+2i; б) .
Задача 2. Вычислите: .

Решение.Воспользуемся формулой Муавра:

.

По этой формуле:

.

Следовательно,

Ответ: - 65.

Задача 3.Вычислите все значения и изобразите их на комплексной плоскости.

Решение.Как известно, корень n -й степени из комплексного числа z = r (cos φ + i sin φ) имеет n различных значений, которые находятся по формуле:

= ,

где k Z, k = 0, 1, 2, 3, …, n −1.

Представим число (−4) в тригонометрической форме:

−4 = 4 (cos π + i sin π ).

Тогда

где k = 0, 1, 2, 3.

Получаем следующие четыре значения корня четвертой степени из числа (−4):

;

;

.

1) Запишите в тригонометрической форме следующие комплексные числа:

а) z = + i ; б) z = 3+ 4 i;

в)

2) Зная, что z₁ = + i, z₂ = − sin + cos , вычислите:

а) (z_1*z₂)⁸; б) .

3) Вычислить все значения корней:

а)

б)

в)