Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

Существует также показательная форма комплексного числа связанная с тригонометрической по формуле Эйлера:

.

(9)

Данное соотношение легко доказать, если произвести разложение экспоненты в ряд Тейлора:

.

(10)

Представим ряд в виде суммы четных и нечетных членов последовательности:

.

(11)

Рассмотрим более подробно мнимую единицу в четной и нечетной степенях. Выражение (1) задало , тогда , в свою очередь . Таким образом можно рекурентно записать:

.

(12)

Построим аналогичным облразом рекурентное соотношение для нечетных степеней: тогда , в свою очередь , получим:

.

(13)

Таким образом выражение (11) с учетом (12) и (13) принимает вид:

.

(14)

В выражении (14) первая сумма по четным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции косинуса, а вторая сумма по нечетным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции синуса. Таким образом, получено доказательство справедливости формулы Эйлера (9). Используя формулу Эйлера можно сделать ряд важных замечаний: Замечание 1:

.

(15)

Замечание 2:

.

(16)