Пример 1. Записать число в тригонометрической форме

Записать число в тригонометрической форме.

Арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, производятся следующим образом. Пусть z ₁= r ₁(cosφ₁+ i sinφ₁) и z ₂= r ₂(cosφ₂+ i sinφ₂). Имеем:

Видно, что в тригонометрической форме операции умножения и деления производятся особенно просто: для того, чтобы перемножить (разделить) два комплексных числа, нужно перемножить (разделить) их модули и сложить (вычесть) их аргументы.

Отсюда следует, что для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы: если φ₁,φ₂,...,φ _n – аргументы чисел z ₁, z ₂,..., z_n, то

В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.

Первая формула Муавра:

Пример 2

Вычислить если

Число z называется корнем степени из комплексного числа w, если

Корень степени обозначается

Пусть теперь число w фиксировано. Найдём z из уравнения

Если w = 0, то у уравнения существует единственное решение z = 0.

Если w ≠0, то положим, что нам известно тригонометрическое представление числа w = r ₀(cosφ₀+ i sinφ₀), и будем искать число z также в тригонометрической форме: z = r (cosφ+ i sinφ). Из определения аргумента и геометрической интерпретации комплексных чисел следует, что два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на угол, кратный 2π. Имеем:

откуда получается:

Итак, все решения уравнения задаются формулой

Заметим, что если в эту формулу подставлять натуральные числа k, то при k =0,1,..., n мы будем получать разные комплексные числа, а при k = n имеем:

Значит, и в дальнейшем значения корней будут повторяться. Следовательно, существует ровно n корней уравнения и все они задаются одной формулой.

Вторая формула Муавра:

Пример 3

Найти