Язык логики

Каждая наука, в том числе логика, строит свой язык
на базе естественного языка, а именно формируя специальные слова, термины, особые знаки (символы).

Одно и то же слово естественного языка в разных науках имеет разное значение. Например, значение слова «термин» в логике используется для обозначения элементов суждения и умозаключения и выступает как синоним слова «понятие».

В данном пособии уже использованы некоторые специальные слова «языка» логики, такие как субъект, предикат, связка, термин и пр. Необходимо, чтобы основополагающие понятия определялись строго, а их значения оставались одинаковыми в рамках одного учения, теории.

Поскольку некоторые основополагающие понятия (категории) логика заимствует из философии, то сама логика их определять не может, например: «противоречие», «тождество», «различие» и пр. Однако остальные слова «языка» логики должны своевременно определяться. Обычно знакомство с «языком» логики происходит по мере ее познания. В действительности, символика традиционной формальной логики немногочисленна, и эту символику необходимо знать и уметь ею пользоваться, переводить ее на естественный язык и наоборот.

Основные символы, заменяющие главные понятия логики, S и P используются для обозначения понятий субъекта, или предмета мысли, и предиката, признака предмета мысли соответственно. Понятия «субъект» и «предикат» также используются и в философии, но имеются различия между их философским и логическим значениями. Именно в философии «субъект» — это то, что противостоит «объекту» — природе, миру в целом. По этой причине субъектом в данном смысле становится и один человек, и все человечество, т.е. общество. В логике же «субъект» — предмет мысли, о чем ведется рассуждение, это логическое подлежащее суждения. С точки зрения логики субъектом может выступать любое понятие, отражающее любой реальный или мнимый, материальный или идеальный «предмет», поскольку предметом мысли может быть все, что угодно.

«Предикаты» в философии и логике почти совпадают по значению.

«Предикат» — это любой признак, присущий или не присущий тому или иному предмету (в логике — предмету мысли).

Приведем символику логики.

S — символ для обозначения субъекта суждения (логического подлежащего).

Р — символ для обозначения предиката суждения (логического сказуемого).

М — средний термин умозаключения, общее для исходных суждений понятие.

«Есть» — «не есть» (суть — не суть и пр.) — логическая связка между субъектом и предикатом суждения, выражаемая иногда с помощью тире между «S» и «Р».

R — символ любого отношения.

А (а) — символ общеутвердительного суждения («Все школьники — учащиеся»).

Е (е) — символ общеотрицательного суждения («Ни один цветок этого букета не является ромашкой»).

I(i) — символ частноутвердительного суждения («Некоторые люди миллионеры»).

О (о) — символ частноотрицательного суждения («Некоторые студенты не есть спортсмены»).

∀ — символ квантора общности, в языке выражается словом «для всякого», «для любого» и т.п.

∃ — символ квантора существования, в языке выражается словом «некоторые», «существуют такие» и т.п.

& — символ, или знак, соединительного логического союза «и» (конъюнкция).

V — символ (знак) разделительного логического союза «или» (дизъюнкция).

=> — символ условного логического союза «если, то» (импликация).

<=> — символ логического союза тождества, эквивалентности, «тогда и только тогда, когда».

«Не» — отрицательная частица, может быть выражена и чертой над знаком или тильдой ~, например: ~В или С.
КВАНТОР

— логический оператор, с помощью которого высказывание о к.-л. отдельном объекте преобразуется в высказывание о совокупности (множестве) таких объектов.
В логике используется два основных К.: К. общности, «V», и К. существования, «Э». В естественном языке отдаленными смысловыми аналогами К. общности являются слова «все», «любой», «каждый»; смысловыми аналогами К. существования — слова «некоторые», «существует». С помощью данных К. любое атрибутивное высказывание вида Р(х) о том, что объекту х присуще свойство Р, может быть преобразовано в соответствующее кванторное высказывание вида VхР(х) и вида ЗхР(х). Содержательно сама кванторная формула «VxP(x)» читается как «для всех х имеет место Р(х)», а формула «ЭхР(х)» — как «для некоторых х имеет место Р(х)». Высказывание вида VxP(x) истинно, если любой х обладает свойством Р; и ложно, если хотя бы один х не обладает свойством Р. Аналогичным образом, высказывание вида ЗхР(х) истинно, если хотя бы один х обладает свойством Р; и ложно, если ни один х не обладает свойством Р.
На основе элементарных кванторных формул «VxP(x)», «ЭхР(х)» могут быть построены др., более сложные кванторные формулы. Логические взаимосвязи между такими формулами изучаются в логике предикатов. В частности, формула «ЗхР(х)» логически эквивалентна формуле «) VxКВАНТОР| P(x)», а формула «VхР(х)» эквивалентна формуле «) Эх) Р(х)», где «)» — знак отрицания.
В неявной форме К. использовались уже Аристотелем, однако в строгом содержательном и формальном смысле они впервые были введены в логику Г. Фреге.